第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算
一、选择题
1．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A．＝＋ B．＝－
C．＝－＋ D．＝－－
2．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( )
A. B.
C. D．1
3．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则( )
A．P、A、B三点共线 B．P、A、C三点共线
C．P、B、C三点共线 D．以上均不正确
4．已知点O，N在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，则点O，N依次是△ABC的( )
A．重心 外心 B．重心 内心
C．外心 重心 D．外心 内心
5.如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝( )
A．a＋b
B.a＋b
C.a＋b
D.a＋b
6．已知△ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点，若＝λ (λ＞0)，＝μ (μ＞0)，则＋的最小值是( )
A．9 B.
C．5 D.
二、填空题
7．设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．
8．设a，b是两个不共线的非零向量，若8a＋kb与ka＋2b共线，则实数k＝________.
9.如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界)．若＝a＋b，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满足
a________0，b________0(用“＞”，“＜”或“＝”填空)．
三、解答题
10.△ABC中，＝，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N.设＝a，＝b，用a、b表示向量、、、、、.
11．已知＝λ＋μ (λ、μ为实数)，若A、B、C三点共线，求证λ＋μ＝1.
12．已知△ABC中，＝a，＝b，对于平面ABC上任意一点O，动点P满足＝＋λa＋λb，则动点P的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由．
详解答案
一、选择题
1．解析：由减法的三角形法则知＝－.
答案：B
2．解析：∵M为边BC上任意一点，
∴可设＝x＋y (x＋y＝1)．
∴N为AM中点，
∴＝＝x＋y＝λ＋μ.
∴λ＋μ＝(x＋y)＝.
答案：A
3．解析：∵＋＝2，∴－＝－.
即 ＝，
∴P、A、C三点共线．
答案：B
4．解析：由||＝||＝||知，O为△ABC的外心；＋＋＝0，知，N为△ABC的重心．
答案：C
5. 解析：＝－＝a－b，又＝3，∴＝＝(a－b)，∴＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b.
答案：B
6．解析：由题意得，＋＝2＝λ＋μ?＝＋，又D、E、F在同一条直线上，可得＋＝1.所以＋＝(＋)(＋)＝＋＋≥＋2＝，当且仅当2λ＝μ时取等号．
答案：D
二、填空题
7．解析：设a＝(x，y)，x＜0，y＜0，则x－2y＝0且x2＋y2＝20，解得x＝4，y＝2(舍去)，或者x＝－4，y＝－2，即a＝(－4，－2)．
答案：(－4，－2)
8．解析：因为8a＋kb与ka＋2b共线，所以存在实数λ，使8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.又a，b是两个不共线的非零向量，故解得k＝±4.
答案：±4
9. 解析：由于点P落在第Ⅲ部分，且＝a＋b，
则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a＞0，b＜0.
答案：＞ ＜
三、解答题
10. 解： ? ＝＝b，
＝－＝b－a.
由△ADE∽△ABC，得＝＝(b－a)．
又AM是△ABC的中线，DE∥BC，
得＝＝(b－a)．
又＝(＋)＝(a＋b)．
? ＝＝(a＋b)．
11．证明：∵＝λ＋μ
∴＝－＝(λ－1) ＋μ
＝－＝λ＋(μ－1)
又∵A、B、C三点共线
∴＝k
即＝＝k
∴λ＋μ＝1.
12．解：依题意，由＝＋λa＋λb，得－＝λ(a＋b)，即＝λ(＋)．如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，对角线交于O，则＝λ，
∴A、P、D三点共线，即P点的轨迹是AD所在的直线，由图可知P点轨迹必过△ABC边 BC的中点．
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