2014届高三数学精品复习之不等式的解法及其综合应用 1．解分式不等式不能轻意去分母，通常采用：移项（化一边为零）→通分→转化为整式不等式→化所有因式中的变量系数为正，（即不等式两边同除以变量系数，若它的符号不能确定即需要讨论）→“序轴标根”（注意比较各个根的大小，不能比较时即需要讨论）； [特别关注] 求一个变量的范围时，讨论的也是这个变量，结果要并；讨论的若是另一个变量，结果不能并。 [举例1]关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞)，则关于x的不等式
的解集是（ ） A．(-∞,-1)∪(2,+∞) B．(-1,2) C．(1,2) D．(-∞,1)∪(2,+∞) 解析：不等式ax-b>0的解集是(1,+∞)
a>0且a=b，则不等式
等价于：

(x+1)(x-2)>0
x>2或x<-1,选A。 [举例2] 解关于
的不等式：
解析：




以下不等式两边同除以a-1，需讨论其正负；①若a>1，等价于：
此时需知不等式相应的方程的两根
与
=2的大小，比差：
=
， 可见a>1时，
<
,∴不等式的解为：(-∞，
)∪（2，+∞) ②若a<1，不等式等价于：
，（ⅰ）若0
,不等式的解为： （2,
）；（ⅱ）若a<0，
<
,不等式的解为：（
,2）；(ⅲ) 若a=0, 不等式等价于：
，不等式的解为
；综上所述：当a>1时不等式的解为(-∞，
)∪（2，+∞)；当00则 |f(x)|>M
f(x)>M或f(x)<-M；②平方（不等式两边同正）；③讨论（绝对值内的式子为0）。 [举例]设p：x
－x－20>0,q：
<0,则p是q的 ( ) （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 解析：p：(-∞，-4) ∪（5，+∞)；以下对命题q中的不等式去绝对值：（ⅰ）
≥0时 原不等式等价于：
<0


-1<
<1或
>2；注意到
≥0， ∴0≤
<1或
>2；（ⅱ）
<0时，原不等式等价于：
<0


-1<
<1或
<-2；注意到
<0, ∴-1<
<0或
<-2；∴q:(-∞，-2)∪(-1，1)∪(2，+∞) 可见：p
q,故选A。 [巩固]不等式
的解集是 . [迁移]已知函数
在
上是增函数，A (0, -2 ), B (4 ,2 )是其图象 上的两个点，那么不等式
的解集是 3．分段函数形成的不等式一般分段解，再取并集；对较为复杂的分段函数问题可以借助于图象解决。 [ 举例1]设函数
，若
则x0取值范围是 （ ） A．（-
，-1）∪（1，+
） B．（-
，-1）∪（0，+
） C．（-1，0）∪（0，1） D．（-1，0）∪（0，+
） 解析：若x0<0，则f(x0)=lg|x0|>0
|x0|>1
x0<-1；若x0≥0，则f(x0)=
>0
x0>0 故选B [举例2]已知：函数
（
）．解不等式：
． 解析：（ⅰ）当
时，即解


，此时不等式恒成立，即
； （ⅱ）当
时，即解


，∵
， ∴
或
．综上：不等式的解为：
[巩固1]设函数
，则使
。则x0的取值范围是（ ） A （-
]
[0，10] B （-
]
C （
D[-2，0]
[1，10] [巩固2]已知
则不等式
≤5的解集是 4．解抽象函数的不等式离不开函数的单调性。抽象函数的不等式反映出的函数值的大小，需借助于函数的单调性化归为自变量的大小，特别注意定义域。画抽象函数的“概念图”是化抽象为形象的有效途径；对某些有具体函数背景的抽象函数，可以从该具体函数中寻找解题线索。 [举例1]已知奇函数f(x)在
为减函数，f(2)=0则不等式(x-1)f(x-1)<0的解集为： 。 解析：作函数f(x)的“概念图”如右： 先求不等式xf(x)<0的解：当x>0时 （y轴右侧），f(x)<0(x轴下方)， ∴x>2；当x<0时（y轴左侧）， f(x)>0(x轴下方)，∴x<-2；可见 不等式xf(x)<0的解为：x<-2或x>2 （也可以根据满足不等式xf(x)<0的函数图象上的点横、纵坐标异号，看图象在第二、四象限的部分得出）。再将x换成x-1,得：x-1<-2或x-1>2即x<-1或x>3。 [举例2]已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝5，求不等式 f（a2－2a－2）<3的解. 解析：正比例函数f(x)满足：f（x＋y）＝f（x）＋f（y），本题中函数f(x)可视为一次函数。解抽象函数的不等式，需知函数的单调性；用定义：任取x10,则f(x2-x1)>2
f(x2)+f(-x1)-2>2
f(x2)+f (-x1)>4；对f(x+y)+2＝f(x)+f(y)取x=y=0得：f(0)=2,再取y= -x 得f(x)+f(-x)=4即f(-x)=4-f(x),∴有f(x2)+4-f(x1)>4
f(x2) > f(x1)
f(x)在R上递增 又f(3)=f(2)+f(1)-2=f(1)+f(1)-2+f(1)-2=3f(1)-4=5
f(1)=3；于是：不等式 f(a2-2a-2)<3 等价于f(a2-2a-2)1,则
<0；②
；③对定义域内的任意实数
，
，都有：
，则不等式
的解集为 。 5．解决含参变量的无理不等式、含参变量的绝对值不等式、含参变量的指（对数）数不等式问题时常用数形结合。
[举例1]不等式
在[-1，1]上恒成立， 则
的取值范围是 解析：分别作函数
和
的图象如右， 前者是以原点为圆心的单位圆的上半部分，后者是斜率 为1的直线。不等式
的解即半圆在直线 的下方的点的横坐标；不等式恒成立即半圆都在直线的下 方，由图可见，只需直线在与圆相切的位置的上方，即
。

[举例2] 若不等式
的解集为[1，2]，则 实数
的取值集合是 解析：分别作函数
和
的图象如右， 前者是双曲线x2-y2=1的x轴上方的部分，后者是过原点 的直线。不等式
的解即双曲线在直线下方 的点的横坐标；如图所示，不等式的解集为[1，2]，即两图象交点P的横坐标为2，分别代入两函数表达式，得：
，即
. [巩固1]不等式
的解集是（ ） A
B
C
D
[巩固2]关于x的不等式
在（0，1）上恒成立，则a的取值范围是 。 6. 遇到含参不等式恒成立求参变量的范围问题，通常采用分离参数法，转化为求某函数的最大值（或最小值）；具体地：g(a)>f(x)在x∈A上恒成立
g(a)>f(x)max，g(a)0在x∈A上恒成立
f(a,x)min>0, (x∈A)及f(a,x)<0在x∈A上恒成立
f(a,x)max>0, (x∈A)来转化；还可以借助于函数图象解决问题。特别关注：“不等式f(a,x)≥0对所有x∈M恒成立”与 “不等式f(a,x)≥0对所有a∈M恒成立”是两个不同的问题，前者是关于x的不等式，而后者则应视为是关于a的不等式。特别提醒：“判别式”只能用于“二次函数对一切实数恒成立”的问题，其它场合，概不适用。 [举例1]定义在R上的函数f(x)为奇函数，且在[0，+

为增函数，对任意
∈R，不等式f(cos2
-3)+f(2m-sin
)>0恒成立，则实数m的取值范围是 [来源:] 解析：∵函数f(x)为奇函数且在[0，+

为增函数，易见：函数f(x)为在（-
，0
上递增，∴函数f(x) 在（-
，+

上递增；不等式f(cos2
-3)+f(2m-sin
)>0恒成立
不等式f(cos2
-3) >f(-2m+sin
)恒成立
不等式cos2
-3>-2m+sin
恒成立
2m>2sin2
+ sin
+2恒成立,记g(
)=2sin2
+ sin
+2=2(sin
+
)2+
, g(
)max=g(1)=5 ∴2m>5
m>
. [举例2]设奇函数
在[-1，1]上是增函数，且
，若函数
对所有的
及所有的
都成立，则
的取值范围是 ； 解析：先视x为主元，关于x的不等式
对所有的
横成立

，又
在[-1，1]上递增，∴
，即：
≥1，现在视a为主元，关于a的不等式
≥0对所有的
都成立， 记g(a)= -2ta+t2，此时分离参数（t）或求函数g(a)的最小值均需讨论，但如果注意到函数g(a)是一次函数，其图象是一条直线，则g(-1) ≥0且g(1) ≥0得t≥2或t≤-2或t=0。 [巩固1]f(x)是偶函数，且f(x)在[0，+

上是增函数，如果f(ax+1)≤f(x-2)在[
，1]上恒成立，则实数a的取值范围是 。 [巩固2]]对满足
的实数P，做
恒成立的x的取值范围是： A.
B.
C.
D.
[迁移]已知函数
，直线
：
，若当
时，函数
的图象恒在直线
的下方，则
的取值范围是 简答 1、 [巩固1]（
，-1）∪（0，1），[巩固2] 当a=0时不等式的解为：{x|x<1}；当a>0时不等式的解为：{x|

}；[迁移]9。[] 2、[巩固]
， [迁移]（-2，2），3、[巩固1] C ，[巩固2] （-
，

4、[巩固1]
[巩固2]
∈
；5、[巩固1]A，[巩固2]{1，2
6． [巩固1][-2，0]，[巩固2]C,[迁移] （-
，-6） 版权所有：高考资源网(www.ks5u.com)

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