2014届高三数学精品复习之导数的应用、复数 1.用导数研究函数的单调性。
在区间
内可导，若
>0，则
在
上递增;若
<0，则
在
上递减. 注意：
为正（负）是函数
递增（减）充分不必要条件。如果函数f(x)在区间（a,b）内可导且不是常函数，上述结论可以改进为：f(x)在区间（a,b）上单调递增

≥0在（a,b）上恒成立；f(x)在区间（a,b）上单调递减

≤0在（a,b）上恒成立 [举例1]已知函数
若
在
是增函数，求实数
的范围。 解析：
≥0在
上恒成立

在
上恒成立 而
在
上的最小值为16，故
。 [举例2]已知定义在R上的函数y=f(x)的导函数f/(x)在R上也可导，且其导函数[f/(x)]/<0， 则y=f(x)的图象可能是下图中的 （ C ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 解析：由[f/(x)]/<0知f/(x)在R上递减，即函数y=f(x)的图象上从左到右各点处的切线斜率递减，不难看出图象②③满足这一要求。 [举例3] f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf/(x)+f(x)≤0,对任意正数a、b,若a＜b，则必有 （ ） （07陕西理11） A.af(b) ≤bf(a) B.bf(a) ≤af(b) C.af(a) ≤f(b) D.bf(b) ≤f(a) 解析：xf/(x)+f(x)≤0
[xf(x)]/ ≤0
函数F(x)= xf(x) 在（0，+∞）上为常函数或递减， 又0g/(x),若a>b，则 （ ） A．f(a)>g(b) B．g(a)g(a)- g(b) 2．“极值点”不是“点”，而是方程
的根。
是函数
极值点则
；但是
，
未必是极值点（还要求函数
在
左右两侧的单调性相反）；若
（或
）恒成立，则函数
无极值。 [举例1] 已知函数
在
处取得极大值，在
处取得极小值，且
．（1）证明
；（2）若z=a+2b,求z的取值范围。 解析：函数
的导数
． （Ⅰ）由函数
在
处取得极大值，在
处取得极小值，知
是
的两个根．所以
；当
时，
为增函数，
，由
，
得
． （Ⅱ）在题设下，
等价于
即
． 化简得
．此不等式组表示的区域为平面
上三条直线：
所围成的
的内部，由“线性规划”的知识容易求得：
的取值范围为
． [举例2] 已知函数
在
处有极值10,则
解析：
，∴
=
①
② 由①②得：
或
当
时，
，此时函数
无极值，舍去； 当
时
，函数
在
处左减右增，有极小值； 此时∴
18 。注：在解决“已知函数的极值点求参变量”的问题时，为避免“增根”，需将求出的参变量的值代入
检验其是否为完全平方式，若是则函数无极值（单调），否则有极值；也可以对
再次求导，看
的值，为0则无极值，为正则有极小值，为负则有极大值。 [巩固1]已知
在区间[0,1]上是增函数,在区间
上是减函数,又
(Ⅰ)求
的解析式; (Ⅱ)若在区间
(m＞0)上恒有
≤x成立,求m的取值范围. [举例2]设函数
，其中
．证明：当
时，函数
没有极值点；当
时，函数
有且只有一个极值点，并求出极值．（07高考山东文21） 3.求
在闭区间内的最值的步骤：（1）求导数
（2）求导数方程
=0的根（3）检查
在根的左右值的符号，列表求得极值；也可通过解不等式
≥0及
≤0确定函数
在给定区间内的单调情况，再确定函数的极值；最后将极值与区间端点的函数值比较以确定最值。 [举例1] 设函数
在
及
时取得极值． （Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的
，都有
成立，求c的取值范围． 解析：（Ⅰ）
，由
，
．解得
，
． （Ⅱ）
在[0，3]上恒成立即
，
由（Ⅰ）可知，
，
． 当
时，
；当
时，
；当
时，
． 即
在
0，1]上递增，[1，2]上递减，[2，3]上递增；∴当
时，
取得极大值
，又
．故当
时，
的最大值为
． 于是有：
，解得
或
，因此
的取值范围为
。 [举例2] 已知定义在正实数集上的函数
，
，其中
．设两曲线
，
有公共点，且在该点处的切线相同．用
表示
，并求
的最大值； 解析：设
与
在公共点
处的切线相同．
，
，由题意
，
． 即
由
得：
，或
（舍去）． 即有
． 令
，则
．于是当
，即
时，
；当
，即
时，
．故
在
为增函数， 在
为减函数，∴
在
的最大值为
． [巩固1] 设函数
，求
在区间
的最大值和最小值． [巩固2] 已知函数
，其图象为曲线C （1） 直线l:y=x+1与曲线C相切于x轴上一点，求的a、b的值 （2）是否存在实数a、b，使f(x)在［-1、2］上取得最大值为3，最小值为-29。若存在，求出a、b的值，并指出函数y=f(x)的单调递增区间；若不存在，请说明理由。 4．复数包括实数和虚数，实数是虚部为0的复数；-1的“平方根”为
，
= -1，
，
=1，
；复数运算遵循有理式的运算法则；复数的商一般将分母“实数化”（分子分母同乘分母的共扼复数）；两个虚数不能比较大小；两个复数相等当且仅当它们的实部相等，虚部也相等；复数
（
∈R，
∈R）在复平面内唯一对应点（
，
）。 [举例1] 设
是实数，且
是实数，则
（ ） A．
B．
C．
D．
解析：
=
=
∈R，则
1 [举例2] 已知
，且
（
是虚数单位）是实系数一元二次方程
的两个根，那么
的值分别是（ ）A Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
解析：分别将
代入方程得：
①
② 对①②整理得：
；解得：
。本题也可以用“韦达定理”求解：
③，
④ 对③④整理得：


。 [巩固1]在复平面内，复数z=
对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第在象限 （D）第四象限 [巩固2] 设复数
满足
，则
（ ） A．
B．
C．
D．
答案 1、[巩固1]
，[巩固2]D，[巩固3]D，2、[巩固1]
．
． [巩固2]；3、[巩固1]
[巩固2] （1）a=
,b=
(2)a=2，b=3 f(x)在(-1,0)上单调递增;a=-2，b=-29 f(x)在(0、2)上单调递增。4、[巩固1] D，[巩固2] C 版权所有：高考资源网(www.ks5u.com)

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