2014届高三数学精品复习之三角变换 1．若α∈
，则sinα< α1），（图象略）1个。 [举例2]已知?是第二象限的角，且
<
，那么
+
的取值范围是 A (-1、0) B (1、
) C (-1、1) D (-
、-1) 解析：?是第二象限的角，则
∈（k
+
，k
+
）k∈Z，（一、三象限中“靠近”y轴的部分），∵
<
，∴
不在第一象限（第一象限正、余弦均为正，“靠近”y轴正弦较大），即
∈（2 k
+
，2 k
+
）k∈Z，
+
=
，
+
∈（2 k
+
，2 k
+
），由图象知：
∈(-
、-1)，选D。 [巩固1]若
且
＜
＜
，则
的值为 （ ） A．
或
B．
C．
D．
[巩固2]⊿ABC的内角A满足：且tanA-sinA<0,sinA+cosA>0,则A的取值范围是___ 2．已知一个角的某一三角函数值求角的大小，一定要根据角的范围来确定；如： sin
=m(|m|<1),则
=2k
+arcsinm或
=2k
+
-arcsinm；cos
=m(|m|<1),则
=2k
±arccosm; tan
=m,则
=k
+arctanm， k∈Z等。两个角的三角函数值相等，这两个角未必相等，如sinα=sinβ, 则α=2k
+β, 或α=2k
+
-β，k
Z; 若cosα=cosβ, 则α=2k

β; 若tanα=tanβ, 则α=k
+β,k
Z 等。 [举例1]已知sin2A=sin2B,则⊿ABC的形状为__________ 解析：∵ sin2A=sin2B 且2A+2B∈（0，2
），∴2A=2B或2A+2B=

A=B或A+B=
即⊿ABC是等腰或直角三角形。 [举例2]已知sin
=-
,
∈(-
,-
)，求
解析：sin
=-
，则
=2k
-
或
=2k

， k∈Z，又
∈(-
,-
) ∴
=
。 [巩固] 如果
的三个内角的余弦值分别等于
的三个内角的正弦值，则（ ） A．
和
都是锐角三角形 B．
和
都是钝角三角形 C．
是钝角三角形，
是锐角三角形 D．
是锐角三角形，
是钝角三角形 [提高]已知
∈(0，
)，则直线x+ytan
+1=0的倾角 A．
B．
-
C．
+
D．
-
3. 熟悉将三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)+B的套路。即：运用两倍角正（余）弦公式及半角公式降次、（其中sin2x=
(1-cos2x)，cos2x=
(1+cos2x)这两个公式使用频繁，必须牢记）再引入辅助角（特别注意
，
经常弄错）使用两角和、差的正弦、余弦公式（合二为一）。这是三角变换中最常用的一套“组合拳”，要能娴熟而精准地使用。 [举例]函数f(x)=6sinxcosx-8sin2x取得最大值时tan2x的值为 。 解析：f(x)=3sin2x-4(1-cos2x)=3sin2x+4cos2x-4=5(
sin2x+
cos2x)-4=5sin(2x+
)-4 (其中tan
=
),当且仅当2x+
=2k
+
即2x=2k
+
-
， k∈Z时函数f(x) 取得最大值，此时tan2x=tan(2k
+
-
)=cot
=
。注意：上述过程中“5(
sin2x+
cos2x)-4”这一步最好不要跳过，它是保证辅助角
不出错的最重要的关口。 [巩固] 函数
的最大值为 4．求具体角的三角函数值的一般方法：角负化正、大化小。必须熟记常用几个特殊角的三角函数值，很多“疏忽”皆源于此；而在“无条件”求值问题中，恰倒好处地运用特殊角三角函数值又往往是解题的关键。 [举例]
的值是： （ ） A．-
B．-
C． -
D． -
解析：用两倍角公式，很快就会发现进行不下去。尝试“大化小”，原式=
=
，选C。（把100换成300-200是关键）。 [巩固1]
= [巩固2]
= [迁移] 若
，则
(A)
(B)
(C)
(D)
5. 三角变换中遇到形如： sinα±cosα=m的条件，如果是研究性质的问题，常“合二为一”；如果是求值的问题，常两边平方，得到sinαcosα的值并判断出sinα、cosα的符号，再与sinα±cosα=m联立，解方程组。sinα±cosα与sinαcosα“三兄妹”关系密切，要做到见此及彼；其中sinαcosα=
[（sinα+cosα）2-1]=
[1-（sinα-cosα）2], sinα+cosα与sinα-cosα通过sinαcosα实现过渡. [举例] 已知?
，若
，求
的值。?来源???????????? 解析：思路一：联立方程
①和
②， 解得：
或
∵?
∴
>0,后一组接舍去，∴
??
。 思路二：由①平方得：
③，联立①③运用韦达定理求得两组
和
的值，舍去一组后得出
的值。思路三：利用③容易求得
，注意到
<0即
和
异号，∵?
∴
>0,
<0； ∴
④；联立①④得到
和
的值，再求出
的值。 思路四：由①平方得：
<0，∵?
∴
>0,
<0，∴?
；?又
>0, ∴
????∴?
?∴
?∴
?
再用半角公式求出
和
的值。 [巩固]若
，则
等于 （ ） A. 1 B. 2 C. –1 D. –2 [迁移1]设θ是三角形的一个内角，且Sinθ+Cosθ=，则方程x2Sinθ+y2Cosθ=1表示的曲线是（A）焦点在x轴上的椭圆 （B焦点在y轴上的椭圆 （ ） （C）焦点在x轴上的双曲线 （D）焦点在y轴上的双曲线 [迁移2]函数
的值域为 6.能熟练掌握由tanα的值（m）求sinα、cosα的值的方法：若α是锐角，就根据tanα的值画一个直角三角形，在该直角三角形中求sinα、cosα；若α不一定是锐角，则由方程组：sinα=mcosα, sin2α+cos2α=1解得，或“弦化切”。在三角变换中，要注意1的功用。“弦化切”时常把1化为正弦与余弦的平方；在三角变换中常用两倍角余弦公式消去1,如：
，
，，
，
等,此外
. [举例]已知
,其中
为第二象限角,求(1)
,
的值; (2)
的值; 解析：（1）将
代入
得：（
）
=1

=
，又
为第二象限角，∴
，
=
（2）原式=
。 （分子、分母同除以
是“弦化切”的基本动作） [巩固]已知2sin
-cos
=1求sin
+2cos
的值。 [迁移] 设向量
=（1+cosα，sinα），
=（1-cosβ，sinβ），
=（1，0），α∈（0，
），β∈（
，2
），
与
的夹角为θ1，
与
的夹角为θ2，且θ1―θ2=
，求
的值。 7．给（一个角的三角函数）值求（另一个三角函数）值的问题，一般要用“给值”的角表示“求值”的角，再用两角和（差）的三角公式求得。 [举例1]设α、β均为锐角，cosα＝
，cos(α+β)=－
,则cosβ＝＿＿＿. 解析：∵α、β均为锐角，∴sinα=
, sin(α+β)=
, cosβ=cos[(α+β)- α] =(－
)
+

=
.(此类问题不宜解方程组) [举例2]已知
，则
的值 解析：
=
+
-
，2
+
=
+
+
，∴






=
。（这里“变角”的灵感与“给值求值”的做法一脉相承）。 [巩固]已知向量
，
，|
|=
， （1） 求
的值 （2） 若
且
，求
的值 [迁移]已知???是锐角，sin?=x,cos?=y,cos(???)=－
，则y与x的函数关系式为（ ） A．y=－

+
x (

---

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