单元评估检测(八)
第八章
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2013·宝鸡模拟)函数f(x)=+2x在x=1处切线的倾斜角为 ( )
(A) (B) (C) (D)
2.“a=3”是“直线ax+2y+2a=0和直线3x+(a-1)y-a+7=0平行”的 ( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件
3.(2013·南昌模拟)已知圆O:x2+y2=4,直线l过点P(1,1),且与直线OP垂直,则直线l的方程为 ( )
(A)x+3y-4=0 (B)y-1=0
(C)x-y=0 (D)x+y-2=0
4.连接椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点得到的直线方程为x-2y+2=0,则该椭圆的离心率为 ( )
(A) (B) (C) (D)
5.(2013·蚌埠模拟)已知m∈R,则“m>2”是“方程+y2=1表示椭圆”的 ( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
6.设M(x0,y0)为抛物线C:y2=8x上一点,F为抛物线C的焦点,若以F为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则x0的取值范围是 ( )
(A)(2,+∞) (B)(4,+∞)
(C)(0,2) (D)(0,4)
7.(2013·淮南模拟)过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,O为坐标原点,则△OAB的外接圆方程是 ( )
(A)(x-2)2+(y-1)2=5
(B)(x-4)2+(y-2)2=20
(C)(x+2)2+(y+1)2=5
(D)(x+4)2+(y+2)2=20
8.(2013·西安模拟)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A,B两点,且|+|= |-|,则实数a的值为 ( )
(A)2 (B)-2
(C)2或-2 (D)或-
9.(2013·渭南模拟)过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F(-c,0)(c>0),作圆x2+y2=的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支于点P,若=(+),则双曲线的离心率为 ( )
(A) (B) (C) (D)
10.(能力挑战题)函数y=的图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列,则以下不可能成为该等比数列的公比的数是 ( )
(A) (B) (C) (D)
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)
11.(2013·西安模拟)椭圆+=1的焦距为2,则m的值为 .
12.已知椭圆C的离心率e=,且它的焦点与双曲线x2-2y2=4的焦点重合,则椭圆C的方程为 .
13.(2013·合肥模拟)已知直线ax+y+2=0与双曲线x2-=1的一条渐近线平行,则这两条平行直线之间的距离是 .
14.(2013·九江模拟)已知圆C的圆心是抛物线y=x2的焦点,直线4x-3y-3=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=8,则圆C的方程为 .[来源:学§科§网]
15.(能力挑战题)曲线C:y=(a>0,b>0)与y轴的交点关于原点的对称点称为“望点”,以“望点”为圆心,凡是与曲线C有公共点的圆,皆称之为“望圆”,则当a=1,b=1时,所有的“望圆”中,面积最小的“望圆”的面积为 .
三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(12分)已知直线l:x=4与x轴相交于点M,圆的方程(x-2)2+y2=22(x≠0且x≠4),过直线l上一点D(与M不重合)作圆的切线,切点为E,与x轴相交点为F,若=,求切线DE的方程.
17.(12分)(2013·咸阳模拟)已知△ABC的两个顶点B,C的坐标分别为(-1,0)和(1,0),顶点A为动点,如果△ABC的周长为6.
(1)求动点A的轨迹M的方程.
(2)过点P(2,0)作直线l,与轨迹M交于点Q,若直线l与圆x2+y2=2相切,求线段PQ的长.
18.(12分)(2013·淮北模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,且直线x-y+b=0是抛物线y2=4x的一条切线.
(1)求椭圆C的方程.
(2)过点S(0,-)且斜率为1的直线l交椭圆C于M,N两点,求|MN|的值.
19.(12分)(2012·湖南高考)在直角坐标系xOy中,已知中心在原点,离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C:x2+y2-4x+2=0的圆心.
(1)求椭圆E的方程.
(2)设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线l1, l2,当直线l1, l2都与圆C相切时,求P的坐标.
20.(13分)已知抛物线x2=4y的焦点为F,过焦点F且不平行于x轴的动直线l交抛物线于A,B两点,抛物线在A,B两点处的切线交于点M.
(1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列.
(2)设直线MF交该抛物线于C,D两点,求四边形ACBD面积的最小值.
21.(14分)已知椭圆C的离心率e=,长轴的左、右端点分别为A1(-2,0),A2(2,0).
(1)求椭圆C的方程.
(2)设直线x=my+1与椭圆C交于R,Q两点,直线A1R与A2Q交于点S,试问:当m变化时,点S是否恒在一条直线上?若是,请写出这条直线的方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由.
答案解析
1.【解析】选A.因为f′(x)=-+2,所以在x=1处切线的斜率k=f′(1)=-1+2= 1=tanα.又倾斜角α∈[0,π),所以α=.
2.【解析】选A.a=3代入得,直线ax+2y+2a=0和直线3x+(a-1)y-a+7=0平行,反之由直线ax+2y+2a=0和3x+(a-1)y-a+7=0平行得a(a-1)=2×3,a=3或a=-2,可验证满足两直线平行,所以“a=3”是“直线ax+2y+2a=0和直线3x+(a-1)y-a+7=0平行”的充分不必要条件.
3.【解析】选D.由已知直线l的斜率kl=-=-1,所以直线l的方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
4.【解析】选A.直线x-2y+2=0与坐标轴的交点为(-2,0),(0,1),依题意得c=2,b=1?a=,e=.
5.【解析】选A.因为m>2,所以m-1>1,此时方程+y2=1表示焦点在x轴上的椭圆,而当该方程表示椭圆时有m-1>1或02或12.
7.【解析】选A.由题意得△OAB的外接圆是以OP为直径的圆,其圆心C(2,1),半径r=|OP|==,所以△OAB外接圆方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
8.【解析】选C.由|+|=|-|知,
以,为邻边的平行四边形为正方形,所以△AOB为等腰直角三角形,即||=||=2,∠AOB=90°,∴|AB|=2,则点O到直线x+y-a=0的距离为,所以有=,解得a=±2.
9.【解析】选C.圆x2+y2=的半径为,
由=(+)知,E是FP的中点,设F′(c,0),由于O是FF′的中点,所以OE∥PF′,OE=PF′?PF′=2OE=a,
由双曲线定义,知FP=3a,因为FP是圆的切线,切点为E,
所以FP⊥OE,从而∠FPF′=90°,由勾股定理FP2+F′P2=FF′2?9a2+a2=4c2?e=.
【方法技巧】求椭圆、双曲线离心率的技巧
求离心率的值是解析几何中常见的问题,求解时,可根据题意列出关于a,b,c的相应等式,并把等式中的a,b,c转化为只含有a,c的齐次式,再转化为含e的等式,最后求出e.
【变式备选】已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点且·=c2,则此椭圆离心率的取值范围是 .
【解析】设P(x,y),则·=(-c-x,-y)·(c-x,-y)=x2-c2+y2=c2 ①
将y2=b2-x2代入①式解得x2=,
又x2∈[0,a2],∴2c2≤a2≤3c2,∴e=∈[,].
答案:[,]
10.【解析】选D.函数等价为(x-5)2+y2=9,y≥0,表示圆心为(5,0),半径为3的上半圆,圆上点到原点的最短距离为2,最大距离为8,若存在三点成等比数列,则最大的公比q应有8=2q2,即q2=4,q=2,最小的公比应满足2=8q2,所以q2=,q=,所以公比的取值范围为≤q≤2,所以选D.
11.【解析】由已知当椭圆焦点在x轴上时,有4-m=1,得m=3.
当椭圆焦点在y轴上时,有m-4=1,得m=5.
综上可知,m=3或5.
答案:3或5
12.【解析】由x2-2y2=4,得-=1,其中c2=4+2=6,在椭圆C中e==,∴=,∴a2=8,
∴b2=a2-c2=2,则椭圆的方程为+=1.
答案:+=1
13.【解析】双曲线x2-=1的渐近线为x2-=0,不妨设双曲线x2-=1的一条渐近线为2x-y=0,ax+y+2=0与2x-y=0平行,∴a=-2,在直线2x-y=0上取一点A(1,2),A到ax+y+2=0的距离就是这两条平行直线之间的距离,即=.
答案:
14.【解析】由y=x2,得x2=16y,其焦点为(0,4).
即圆C的圆心C(0,4),其到直线4x-3y-3=0的距离d==3.
又|AB|=8,设圆C的半径为r,所以r2=d2+42,得r2=32+42=25,∴圆C的方程为x2+(y-4)2=25.
答案:x2+(y-4)2=25
15.【解析】因为曲线C:y=(a>0,b>0)与y轴的交点关于原点的对称点称为“望点”,以“望点”为圆心,凡是与曲线C有公共点的圆,皆称之为“望圆”,所以当a=1,b=1时望圆的方程可设为x2+(y-1)2=r2,面积最小的“望圆”的半径为(0,1)到y=上任意点之间的最小距离,d2=x2+(-1)2=x2+()2= (|x|-1)2++2(|x|-1)-+2≥3,所以半径r≥,最小面积为3π.
答案:3π
16.【解析】DE,DM都是圆(x-2)2+y2=22的切线,所以DE=DM.
因为=,
所以DF=2DE=2DM,
所以∠DFM=,
设C(2,0),在△CEF中,
∠CEF=,∠CFE=,CE=2,
所以CF=4,F(-2,0),
切线DE的倾斜角α=或,
所以切线DE的斜率k=或-,
切线DE的方程为y=±(x+2).[
17.【解析】(1)据题意有|AB|+|AC|=4,而4>|BC|=2,所以动点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,但须除去B,C两点,所以,轨迹M的方程为+=1(y≠0).
(2)由于直线l不可能是x轴,故设其方程为x=my+2,由直线l与圆x2+y2=2相切,得=,解得m=±1.
把方程x=my+2代入方程+=1中得(3m2+4)y2+12my=0,即得7y2±12y=0,解得y=0或y=±.
所以点Q的坐标为(,)或(,-),
所以|PQ|=,即线段PQ的长为.
18.【解析】(1)由?x2+(2b-4)x+b2=0.
因直线x-y+b=0与抛物线y2=4x相切,
∴Δ=(2b-4)2-4b2=0?b=1.
∵椭圆+=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,∴a=b=.
故所求椭圆方程为+y2=1.
(2)由已知得直线l的方程为y=x-,与+y2=1联立消y得3x2-2x-=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1+x2=,x1·x2=-,
∴(y1-y2)2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=,
∴|MN|==.
19.【解析】(1)由x2+y2-4x+2=0,得(x-2)2+y2=2.故圆C的圆心为点(2,0);从而可设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),其焦距为2c,由题设知c=2,
e==,∴a=2c=4,b2=a2-c2=12.
故椭圆E的方程为:+=1.
(2)设点P的坐标为(x0,y0), l1, l2的斜率分别为k1,k2,则l1, l2的方程分别为l1:y-y0=k1(x-x0), l2:y-y0=k2(x-x0),且k1k2=.由l1与圆C:(x-2)2+y2=2相切得=.
即[(2-x0)2-2]+2(2-x0)y0k1+-2=0.
同理可得[(2-x0)2-2]+2(2-x0)y0k2+-2=0.
从而k1,k2是方程
[(2-x0)2-2]k2+2(2-x0)y0k+-2=0的两个实根,
于是 ①
且k1k2==.
由得5-8x0-36=0.
解得x0=-2或x0=.
由x0=-2得y0=±3;
由x0=得y0=±,
它们均满足①式,故点P的坐标为(-2,3),
或(-2,-3)或(,)或(,-).
20.【解析】(1)由已知,得F(0,1),显然直线AB的斜率存在且不为0,
则可设直线AB的方程为y=kx+1(k≠0),
A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去y,得x2-4kx-4=0,
显然Δ=16k2+16>0.
所以x1+x2=4k,x1x2=-4.
由x2=4y,得y=x2,所以y′=x,
所以,直线AM的斜率为kAM=x1,
所以,直线AM的方程为y-y1=x1(x-x1),
又=4y1,
所以,直线AM的方程为x1x=2(y+y1) ①.
同理,直线BM的方程为x2x=2(y+y2) ②.
②-①并据x1≠x2得,点M的横坐标x=,
即A,M,B三点的横坐标成等差数列.
(2)由①②易得y=-1,所以点M的坐标为(2k,-1)(k≠0).
所以kMF==-,
则直线MF的方程为y=-x+1,
设C(x3,y3),D(x4,y4),
由消去y,得x2+x-4=0,
显然Δ=+16>0,
所以x3+x4=-,x3x4=-4.
又|AB|====4(k2+1).
|CD|====4(+1).
因为kMF·kAB=-1,所以AB⊥CD,
所以,S四边形ACBD=|AB|·|CD|
=8(+1)(k2+1)
=8(k2++2)≥32,
当且仅当k=±1时,四边形ACBD的面积取到最小值32.
【方法技巧】解决解析几何中最值问题的常用方法
解析几何中的最值问题是高考考查的一个重要方向,既可以出现在选择题、填空题中,也可以出现在解答题中,根据待求量的特点,常用以下两种思想方法:
(1)数形结合思想:当待求量有几何意义时,一般利用其几何性质,数形结合求解.
(2)函数思想:当待求量与其他变量有关时,一般引入该变量构造函数,然后求最值,但要注意待求量的取值范围.
【变式备选】设椭圆M:+=1(a>)的右焦点为F1,直线l:x=与x轴交于点A,若+2=0(其中O为坐标原点).
(1)求椭圆M的方程.
(2)设P是椭圆M上的任意一点,EF为圆N:x2+(y-2)2=1的任意一条直径(E,F为直径的两个端点),求·的最大值.
【解析】(1)由题设知,A(,0),F1(,0),
由+2=0,得=2(-),
解得a2=6.所以椭圆M的方程为:+=1.
(2)方法一:设圆N:x2+(y-2)2=1的圆心为N,
则·=(-)·(-)
=(--)·(-)
=-=-1.
从而求·的最大值转化为求的最大值.
因为P是椭圆M上的任意一点,设P(x0,y0),
所以+=1,即=6-3.
因为点N(0,2),所以=+(y0-2)2=-2(y0+1)2+12.
因为y0∈[-,],所以当y0=-1时,取得最大值12.
所以·的最大值为11.
方法二:设点E(x1,y1),F(x2,y2),P(x0,y0),
因为E,F的中点坐标为(0,2),所以
所以·=(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)
=(x1-x0)(-x1-x0)+(y1-y0)(4-y1-y0)
=-+-+4y1-4y0
=+-4y0-(+-4y1).
因为点E在圆N上,所以+(y1-2)2=1,即+-4y1=-3.
因为点P在椭圆M上,所以+=1,即=6-3.
所以·=-2-4y0+9=-2(y0+1)2+11.
因为y0∈[-,],所以当y0=-1时,(·)max=11.
21.【解析】方法一:(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),半焦距为c,则由已知得a=2,=,所以a=2,c=,∴b2=a2-c2=4-3=1,∴椭圆方程为+y2=1.
(2)①取m=0,若R(1,),Q(1,-),直线A1R的方程是y=x+,
直线A2Q的方程是y=x-,交点为S1(4,).
若R(1,-),Q(1,),由对称性可知交点为S2(4,-).
若点S在同一条直线上,则直线只能为l:x=4.
②以下证明对于任意的m,直线A1R与直线A2Q的交点S均在直线l:x=4上.
事实上,由得(my+1)2+4y2=4,即(m2+4)y2+2my-3=0,
记R(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=.
设A1R与l交于点S0(4,y0),由=,得y0=.
设A2Q与l交于点S′0(4,y′0),由=,得y′0=.
∵y0-y′0=-
=
===0,
∴y0=y′0,即S0与S′0重合,
这说明,当m变化时,点S恒在定直线l:x=4上.
方法二:(1)同方法一.
(2)取m=0,不妨设R(1,),Q(1,-),则直线A1R的方程是y=x+,直线A2Q的方程是y=x-,交点为S1(4,).
取m=1,不妨设R(,),Q(0,-1),直线A1R的方程是y=x+,直线A2Q的方程是y=x-1,交点为S2(4,1).∴若交点S在同一条直线上,则直线只能为l:x=4.
以下证明对于任意的m,直线A1R与直线A2Q的交点S均在直线l:x=4上.
事实上,由得(my+1)2+4y2=4,即(m2+4)y2+2my-3=0,
记R(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=.A1R的方程是y=(x+2),A2Q的方程是y=(x-2),
消去y,得(x+2)=(x-2) ①,
以下用分析法证明x=4时,①式恒成立.
要证明x=4时,①式恒成立,只需证明=,
即证3y1(my2-1)=y2(my1+3),即证2my1y2=3(y1+y2) ②,
∵2my1y2-3(y1+y2)=-=0,∴②式恒成立.
这说明,当m变化时,点S恒在定直线l:x=4上.
方法三:(1)同方法一.
(2)由,得(my+1)2+4y2=4,
即(m2+4)y2+2my-3=0.
记R(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=.
A1R的方程是y=(x+2),A2Q的方程是y=(x-2),
由
得(x+2)=(x-2),
即x=2·
=2·
=2·
=2·=4.
这说明,当m变化时,点S恒在定直线l:x=4上.
【点此下载】