单元评估检测（六）
第六章
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2013·吉安模拟)下列命题正确的是 ( )
(A)存在x∈R,x2+2x+3=0
(B)对于任意x∈N,x3>x2
(C)x>1是x2>1的充分不必要条件
(D)若a>b,则a2>b2
2.(2013·合肥模拟)观察等式:+=,++=,+++=,根据以上规律,第四个等式应为 ( )
(A)++=
(B)++++=
(C)+++=
(D)++++=
3.下列函数中,最小值为2的是 ( )
(A)y=x+ (B)y=x2-2x+4
(C)y=x2+ (D)y=+[
4.(2013·南昌模拟)已知函数f(x)=则不等式xf(x-1)≤1的解集是
( )
(A)[-1,+∞) (B)(-∞,1]
(C)[1,2] (D)[-1,1]
5.已知=2,=3,=4,=5,…,=10,则推测a+b= ( )
(A)1033 (B)109
(C)199 (D)29
6.设实数a,b,c满足a+b+c=6,则a,b,c中 ( )
(A)至多有一个不大于2 (B)至少有一个不小于2
(C)至多有两个不小于2 (D)至少有两个不小于2
7.已知则2x+y-2的最大值等于 ( )
(A)1 (B)2 (C) (D)4
8.已知函数f(x)=ax2,g(x)=,且f(2)=g(2),则当x≠0时函数y=f(x)+g(x2)的最小值等于 ( )
(A)1 (B) (C)2 (D)2
9.已知函数f(x)=x2,g(x)=()x-m,当x∈[1,2]时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数m的取值范围是 ( )
(A)[-,+∞) (B)[-,+∞)
(C)(3,+∞) (D)(4,+∞)
10.某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(1≤t≤30)的关系大致满足f(t)=t2+10t+16,则该商场前t天平均售出(如前10天的平均售出为)的月饼最少为 ( )
(A)18 (B)27 (C)20 (D)16
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)
11.在约束条件下,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为,则ab的最大值为 .
12.若不等式-10,则实数b的取值范围是 .
13.(2013·黄山模拟)不等式3x-3m≤-2m的正整数解为1,2,3,4,则m的取值范围是 .
14.观察下列数的特点:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…,其中第100项是 .
15.(能力挑战题)若实数x,y满足不等式组则当≤2a恒成立时,实数a的取值范围是 .
三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(12分)已知a>b>c,且a+b+c=0,求证:<a.
17.(12分)已知不等式x(ax-1)>a(x-1),其中a∈R.
(1)当a=时,解不等式.
(2)若不等式在R上恒成立,求实数a的取值范围.
18.(12分)设函数f0(x)=x2ex,f1(x)=f'0(x),f2(x)=f'1(x),…,fn+1(x)=f'n(x),n∈N+.
(1)求f1(x),f2(x),f3(x),f4(x)的表达式.
(2)猜想fn(x)的表达式.
19.(12分)(能力挑战题)已知x,y满足
若z=x+3y的最大值为12,试求k的值.
20.(13分)(2013·宝鸡模拟)某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地,地方政府准备在此建一个综合性休闲广场,首先要建设如图所示的一个矩形场地,其中总面积为3000平方米,其中阴影部分为通道,通道宽度为2米,中间的三个矩形区域将铺设塑胶作为运动场地(其中两个小场地形状相同),塑胶运动场地占地面积为S平方米.
(1)分别用x表示y和S的函数关系,并给出定义域.
(2)怎样设计能使S取得最大值,并求出最大值.
21.(14分)(能力挑战题)已知二次函数f(x)=ax2+x,若对任意x1,x2∈R,恒有2f()≤f(x1)+f(x2)成立,不等式f(x)<0的解集为A.
(1)求集合A.
(2)设集合B={x|-a0,故方程x2+2x+3=0无实数解,B中当x<0时不成立,D中当b0,
所以y=x2+≥2=2,当且仅当x=±1时函数取最小值2.
4.【解析】选D.∵f(x-1)=
=
∴xf(x-1)=
∴当x<1时,-x≤1,∴x≥-1,∴-1≤x<1.
当x≥1时,x≤1,∴x=1,
综上-1≤x≤1.
5.【解析】选B.由给出的几个等式可以推测:在=10中,a=10,b=102-1=99,于是a+b=109.
6.【解析】选B.假设a,b,c都小于2,
即a<2,b<2,c<2,那么a+b+c<6,
这与a+b+c=6相矛盾,因此a,b,c中至少有一个不小于2.
7.【解析】选B.设t=x+y-2,则要使2x+y-2取得最大值,只要t取到最大值即可,如图,画出可行域,可知当x=1,y=2时t取到最大值1,因此2x+y-2的最大值等于2.
8.【解析】选B.由f(2)=g(2)得4a=1,所以a=,于是y=+≥2=.当且仅当x2=2时取等号,故函数y=f(x)+g(x2)的最小值等于.
【变式备选】设实数x,y满足x2+2xy-1=0,则x+y的取值范围是 .
【解析】显然x≠0,由x2+2xy-1=0可得y=,
因此x+y=x+=+,
当x>0时,由基本不等式可得+≥2=1,当且仅当x=1时取等号;
当x<0时,可得+≤-1,当且仅当x=-1时取等号,
故x+y的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).
答案：(-∞,-1]∪[1,+∞)
9.【思路点拨】采用分离参数法,将参数m分离到不等式的一边,用函数的单调性求出不等式另一边的最值,得到m的取值范围.
【解析】选B.不等式f(x)≥g(x),即x2≥()x-m,因此m≥()x-x2.令h(x)=()x-x2,由于h(x)在[1,2]上单调递减,所以h(x)的最大值是h(1)=-,因此实数m的取值范围是[-,+∞).
10.【解析】选A.平均销售量
y===t++10≥18.
当且仅当t=,即t=4∈[1,30]时等号成立,
即平均销售量的最小值为18.
11.【思路点拨】先由目标函数的最大值为,结合可行域,求出最优解,得到a,b满足的关系式,然后利用基本不等式求最值.
【解析】画出可行域,由z=ax+by得
y=-x+,因此当直线y=-x+经过可行域中的点M(1,2)时,z取最大值,所以有a+2b=.
又因为a>0,b>0,所以a+2b=≥2,解得ab≤,当且仅当a=2b=时取得.故ab的最大值为.
答案：
【变式备选】使可行域为的目标函数z=ax+by(ab≠0)在x=2,y=2取得最大值的充要条件是 ( )
(A)|a|≤b (B)|a|≤|b|
(C)|a|≥b (D)|a|≥|b|
【解析】选A.画出可行域,如图,
直线l:ax+by=0的斜率为-,要使目标函数在x=2,y=2取得最大值,必须且只需|-|≤1,且直线向上平移时,纵截距变大,所以必须且只需|-|≤1且b>0,因此|a|≤b.
【方法技巧】解决线性规划问题的步骤
(1)画出可行域.
(2)确定目标函数的斜率.
(3)画出过原点、斜率与目标函数斜率相同的直线.
(4)平移直线,确定满足最优解的点.
(5)求满足最优解的点的坐标.
12.【解析】设A={x|4-x2>0}={x|-20,
只需证(a-b)(2a+b)>0,
只需证(a-b)(a-c)>0.
因为a>b>c,所以a-b>0,a-c>0,
所以(a-b)(a-c)>0显然成立.
故原不等式成立.
17.【解析】(1)当a=时,不等式即为
x(x-1)>(x-1),即x2-3x+1>0,
解得x>或x<,
即不等式的解集为{x|x>或x<}.
(2)不等式x(ax-1)>a(x-1)可化为:
ax2-(a+1)x+a>0,显然当a=0时,不合题意;
因此应有解得a>1.
18.【解析】(1)f1(x)=f'0(x)=(x2ex)'=ex(x2+2x);
f2(x)=f'1(x)=[ex(x2+2x)]'=ex(x2+4x+2);
f3(x)=f'2(x)=[ex(x2+4x+2)]'
=ex(x2+6x+6);
f4(x)=f'3(x)=[ex(x2+6x+6)]'
=ex(x2+8x+12).
(2)由(1)可猜测:
fn(x)=ex[x2+2nx+n(n-1)].
19.【思路点拨】对k的取值进行讨论,分k≥0和k<0两种情况进行求解.[来源:学#科#网]
【解析】由于k的不同取值将影响不等式所表示的平面区域,故应对k的取值进行讨论.
①若k≥0,在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图),由于z=x+3y,所以y=-x+z,因此当直线y=-x+z经过区域中的点A(0,-k)时,z取到最大值,等于-3k,令-3k=12,得k=-4,这与k≥0相矛盾,舍去.
②若k<0,在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图),这时,当直线y=-x+z经过区域中的点A(-,-)时,z取到最大值,
等于-,令-=12,得k=-9.
综上,所求k的值为-9.
20.【解析】(1)由已知xy=3000,y=,x∈(6,500),
S=(x-4)a+(x-6)a=(2x-10)a,
∵2a+6=y,∴a=-3=-3,
∴S=(2x-10)(-3)=3030-(+6x),
x∈(6,500).
(2)S=3030-(+6x)
≤3030-2=3030-2×300=2430,
当且仅当=6x,x=50∈(6,500)时取等号,
∴设计x=50m,y=60m时运动场地面积最大,最大值为2430平方米.
21.【解析】(1)不等式2f()≤f(x1)+f(x2)即为f(x1)+f(x2)-2f()≥0,
所以a+x1+a+x2-2[a·()2+]≥0,整理得a(x1-x2)2≥0,
要使上式恒成立,必有a≥0.
又因为f(x)是二次函数,所以a≠0,
因此必有a>0.
由f(x)=ax2+x=ax(x+)<0,
解得A=(-,0).
(2)解得B=(-a-4,a-4).因为集合B是集合A的子集,所以解得0
【点此下载】