课时提能演练(十六)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.如图，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是( )
(A)(cosθ，sinθ) (B)(－cosθ，sinθ)
(C)(sinθ，cosθ) (D)(－sinθ，cosθ)
2.(2012·合肥模拟)设角α是第二象限角，且|cos|＝－cos，则角的终边在( )
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
3.一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为( )
(A)1 (B) (C)或 (D)或
4.(2012·滁州模拟)若扇形的周长是16 cm，圆心角是2 rad，则扇形的面积是(单位： cm2)( )
(A)16 (B)32 (C)8 (D)64
5.(2012·宜春模拟)若cosα＝－，且角α的终边经过点P(x,2)，则点P的横坐标x等于( )
(A)2 (B)±2
(C)－2 (D)－2
6.已知点P(sin，cos)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ值
为( )
(A) (B) (C) (D)
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(2012·汉中模拟)若α＝2 012°，则与α具有相同终边的最小正角为 .
8.(易错题)α的终边与的终边关于直线y＝x对称，则α＝ .
9.设扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是 .
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(2012·芜湖模拟)已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是，求cosα.
11.已知tanα，是关于x的方程x2－kx＋k2－3＝0的两个实根，且3π＜α＜π，求cosα＋sinα的值.
【探究创新】
(16分)已知角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x.求sinα＋的值.
答案解析
1.【解析】选A.由三角函数定义知，点P的横坐标x＝cosθ，纵坐标y＝
sinθ.
2.【解析】选C.∵α是第二象限角，
∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°(k∈Z).
∴k·180°＋45°＜＜k·180°＋90°(k∈Z)，
当k＝2n(n∈Z)时，
n·360°＋45°＜＜n·360°＋90°；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
n·360°＋225°＜＜n·360°＋270°.
∴是第一象限角或第三象限角.
又∵|cos|＝－cos，∴cos<0.
∴是第三象限角.
3.【解析】选C.弦长等于半径，弦把圆分成两部分.所对的圆心角为或，故弦所对的圆周角为或.
4.【解析】选A.设扇形的半径为R，弧长为l，
∴，∴R＝4，l＝8，
∴面积S＝lR＝×8×4＝16.
5.【解析】选D.由三角函数定义cosα＝－＝，
∴x＝－2.
6.【解题指南】确定P点的位置，利用任意角的三角函数的定义求解.
【解析】选D.由sin>0，cos＜0知角θ在第四象限，∵tanθ＝＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝.
【方法技巧】已知角α的终边落在某直线上的问题的解题方法
(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值.
(2)注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sinα＝，余弦值cosα＝.
当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
7.【解析】与α具有相同终边的角为β＝k·360°＋2 012°，当k＝－5时，β为最小正角，即212°.
答案：212°
8.【解析】因为α的终边与的终边关于直线y＝x对称，所以α的终边与的终边重合，则α＝2kπ＋，k∈Z.
答案：2kπ＋，k∈Z
9.【解析】S＝(8－2r)r＝4，r2－4r＋4＝0，r＝2，l＝4，|α|＝＝2.
答案：2
10.【解析】由题意，得cosβ＝－，
∴β∈(，π)，∴sinβ＝＝.
又∵sin(α＋β)＝，∴α＋β∈(0，π)，∴α∈ (0，)，
∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝，
即－sinα＋cosα＝. ①
又∵sin2α＋cos2α＝1， ②
由①②组成方程组及α∈(0，)，解得cosα＝.
11.【解析】∵tanα·＝k2－3＝1，∴k＝±2，
而3π＜α＜π，则tanα＋＝k＝2，得tanα＝1，则sinα＝cosα＝
－，∴cosα＋sinα＝－.
【变式备选】已知sinx＋cosx＝m(|m|≤，且|m|≠1)，求(1)sin3x＋cos3x；(2)sin4x＋cos4x.
【解析】由sinx＋cosx＝m，得1＋2sinxcosx＝m2，即sinxcosx＝，
(1)sin3x＋cos3x＝(sinx＋cosx)(1－sinxcosx)
＝m(1－)＝.
(2)sin4x＋cos4x＝1－2sin2xcos2x＝1－2()2
＝.
【探究创新】
【解题指南】利用三角函数定义先确定P到原点的距离r，再代入三角函数公式可解.
【解析】∵P(x，－)(x≠0)，
∴点P到原点的距离r＝，又cosα＝x，
∴cosα＝＝x.
∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.
当x＝时，P点坐标为(，－)，
由三角函数的定义，有sinα＝－，＝－，
∴sinα＋＝－－＝－；
当x＝－时，同样可求得sinα＋＝.
【变式备选】已知点P在单位圆上运动，同时点P也在角α的终边上.求使
|sinα|＋|cosα|＝1成立时P点的坐标.
【解析】由|sinα|＋|cosα|＝1两边平方得
1＋2|sinα|·|cosα|＝1，
∴|sinα|·|cosα|＝0，∴sinα＝0或cosα＝0.
当sinα＝0时，P(±1,0)；
当cosα＝0时，P(0，±1)，
∴P(±1,0)或P(0，±1).
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