课时提能演练(十八)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.(预测题)已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( )
(A)关于直线x＝对称 (B)关于点(，0)对称
(C)关于直线x＝－对称 (D)关于点(，0)对称
2.(2012·宜春模拟)函数f(x)＝tan(2πx＋)的定义域是( )
(A){x|x≠＋kπ，k∈Z} (B){x|x≠＋，k∈Z}
(C){x|x≠＋，k∈Z} (D){x|x≠＋，k∈Z}
3. (2012·西安模拟)同时具有下列性质：“①对任意x∈R，f(x＋π)＝f(x)恒成立；②图像关于直线x＝对称”的函数可以是( )
(A)f(x)＝sin(＋) (B)f(x)＝sin(2x－)
(C)f(x)＝cos(2x－) (D)f(x)＝cos(2x－)
4.(2012·咸阳模拟)若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω＝( )
(A) (B) (C)2 (D)3
5.已知函数f(x)＝sin(2x－)，若存在a∈(0，π)，使得f(x＋a)＝f(x－a)恒成立，则a的值是( )
(A) (B) (C) (D)
6.已知函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为[－1，]，则b－a的值不可能是( )
(A) (B) (C)π (D)
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(2012·阜阳模拟)y＝cosx，x∈[－，]的值域是 .
8.函数y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是 .
9.(易错题)在(0,2π)内，使sinx＞cosx成立的x的取值范围是 .
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(2012·合肥模拟)已知f(x)＝2sin(2x＋)＋a＋1(a为常数).
(1)求f(x)的递增区间；
(2)若x∈[0，]时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)求出使f(x)取最大值时x的集合.
11.已知y＝a－bcos3x(b＞0)的最大值为，最小值为－，求函数y＝
－4asin(3bx)的周期、最值及取得最值时的x，并判断其奇偶性.
【探究创新】
(16分)已知函数f(x)＝，x∈[0,2π]，g(x)＝m，
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)＝g (x)有4个根，求m的取值范围.
答案解析
1.【解析】选B.由题意知T＝＝π，则ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋)，又f()＝sin(π＋)＝sinπ＝0，故图像关于点(，0)对称.
2.【解析】选D.要使函数有意义，2πx＋≠kπ＋，
∴2πx≠kπ＋，∴x≠＋，k∈Z，故选D.
3.【解题指南】根据已知条件求出周期，再把代入并作出判断即可.
【解析】选B.由已知得函数的周期是π，所以ω＝＝2，再把代入，可知B正确.
4.【解析】选B.函数f(x)＝sinωx的周期T＝，因为在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，所以＝，∴ω＝.
【变式备选】使奇函数f(x)＝sin(2x＋α)在[－，0]上为减函数的α值
为( )
(A) (B)π (C)－ (D)2π
【解析】选B.因为f(x)＝sin(2x＋α)是奇函数，则α＝kπ，k∈Z，则排除A、C，又因为在[－，0]上为减函数，则α＝2kπ＋π，k∈Z，故B正确.
5.【解析】选D.因为函数满足f(x＋a)＝f(x－a)，所以函数是周期函数，且周期为2a,2a＝，所以a＝.
【方法技巧】周期函数的理解
(1)周期函数定义中的等式：f(x＋T)＝f(x)是定义域内的恒等式，即对定义域内的每个x值都成立，若只是存在个别x满足等式的常数T不是周期.
(2)每个周期函数的定义域是一个无限集，其周期有无穷多个，对于周期函数y＝f(x)，T是周期，则kT(k∈Z，k≠0)也是周期，但并非所有周期函数都有最小正周期.
6.【解题指南】解决此类题目利用数形结合，画出草图，因为知道最小值是－1，再根据周期性就可得到b－a的可能的值.
【解析】选A.画出函数y＝sinx的草图，分析知b－a的取值范围为[，].
【变式备选】已知函数f(x)＝Asin(ωx＋)(A＞0，ω＞0)满足条件f(x＋)＋f(x)＝0，则ω的值为( )
(A)2π (B)π (C) (D)
【解析】选A.由f(x＋)＋f(x)＝0得f(x＋)＝－f(x)，所以f(x＋1)＝f(x)，故函数的周期是1，又由＝1得ω＝2π.
7.【解析】结合y＝cosx的图像可知，当－≤x≤时，y∈[0,1].
答案：[0,1]
8.【解析】若函数为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)，
因为0≤≤π，所以φ＝.
答案：
9.【解题指南】利用函数图像或者三角函数线可以得到答案.
【解析】画出y＝sinx和y＝cosx的图像可知道在(0,2π)上sin＝cos，sin＝cos，所以若sinx＞cosx，则有＜x＜.
答案：(，)
10.【解析】(1)当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z时，f(x)单调递增，
∴f(x)的递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z).
(2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，
∴－≤sin(2x＋)≤1.
∴当sin(2x＋)＝1时，f(x)有最大值为2×1＋a＋1＝4，∴a＝1；
(3)当x∈R，f(x)取最大值时，2x＋＝＋2kπ，k∈Z，∴x＝＋kπ，k∈Z，
∴当x∈R，使f(x)取得最大值时x的集合为{x|x＝＋kπ，k∈Z}.
11.【解析】依题意得，∴，
∴y＝－4asin(3bx)＝－2sin3x，则周期T＝，
当3x＝2kπ＋(k∈Z)，
即x＝＋(k∈Z)时，ymin＝－2，
当3x＝2kπ－(k∈Z)，
即x＝－(k∈Z)时，ymax＝2，
记f(x)＝－2sin3x，
∵f(－x)＝－2sin3(－x)＝－2sin(－3x)
＝2sin3x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.
【探究创新】
【解析】(1)画出函数f (x)在[0,2π]上的图像如图，
可知f(x)的单调增区间为[0，]和[π，]和[，2π]，
单调减区间为[，π]和[，].
(2)由图像可知当x＝时，f(x)＝－，
当x＝π，时，f(x)＝－1，
故结合图像知当－1＜m＜－时，
f(x)的图像与g(x)的图像有4个交点，
即f(x)＝g(x)有4个根，
故m的取值范围为(－1，－).
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