巩固双基,提升能力
一、选择题
1．(2013·山东冲刺)求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是( )
A．S＝(x2－x)dx B． S＝(x－x2)dx
C．S＝(y2－1)dy D．S＝(y－)dy
解析：两函数图像的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积S＝(x－x2)dx.
答案：B
2．(2013·武汉调研)由直线x＝－，曲线y＝cosx及x轴、y轴所围图形的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：四线围成的面积为S＝－cosxdx＝sinx0－＝.
答案：D
3．(2013·黄冈检测)如图所示，图中曲线方程为y＝x2－1，用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )
A.
B.(x2－1)dx
C.|x2－1|dx
D.(x2－1)dx＋(x2－1)dx
解析：所求面积为(1－x2)dx＋(x2－1)dx＝
|x2－1|dx.
答案：C
4．(2013·河南联考)已知f(x)＝2－|x|，则f(x)dx等于( )
A．3 B．4
C．3.5 D．4.5
解析：f(x)＝2－|x|＝f(x)dx＝
f(x)dx＋f(x)dx＝ (2＋x)dx＋(2－x)dx＝＋＝3.5.
答案：C
5．(2012·湖北)已知二次函数y＝f(x)的图像如图所示，则它与x轴所围图形的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：设f(x)＝a(x－1)(x＋1)，将x＝0，y＝1代入f(x)得a＝－1，所以f(x)＝－(x－1)(x＋1)＝1－x2，所以S＝－1(1－x2)dx＝＝.
答案：B
6．(2013·武汉调研)如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y＝(x＞0)图像下方的区域(阴影部分)，从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：函数y＝(x＞0)图像与y＝2的交点坐标为
答案：C
二、填空题
7．(2012·江西)计算定积分 (x2＋sinx)dx＝__________.
解析： (x2＋sinx)dx＝＝.
答案：
8．(2012·山东)设a＞0.若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.
解析：S＝dx＝x|＝a＝a2?a＝.
答案：
9．(2012·上海)已知函数y＝f(x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)、B、C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图像与x轴围成的图形的面积为__________．
解析：设直线为y＝kx＋b，代入A，B两点，∴y＝10x.
代入B，C两点，则∴k＝－10，b＝10.
∴f(x)＝
∴y＝xf(x)＝
答案：
三、解答题
10．若f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x) dx＝，求dx的值．
解析：∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)．
由(ax＋b)dx＝5，得＝a＋b＝5.①
由xf(x)dx＝，得(ax2＋bx)dx＝.
即＝.
∴a＋b＝.②
解①②，得a＝4，b＝3.
∴f(x)＝4x＋3.
于是dx＝dx＝(4＋)dx
＝(4x＋3lnx)|＝8＋3ln2－4
＝4＋3ln2.
11．(2013·日照调研)如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．
解析：抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标x1＝0，
x2＝1，
所以抛物线与x轴所围图形的面积
S＝(x－x2)dx＝＝－＝.
又可得抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x′1＝0，x′2＝1－k，
所以＝∫(x－x2－kx)dx
＝
＝(1－k)3.
又知S＝，所以(1－k)3＝.
于是k＝1－ ＝1－.
12．设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx在点x＝1处有极值－2.
(1)求常数a、b的值；
(2)求曲线y＝f(x)与x轴所围成的图形的面积．
解析：(1)由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f(1)＝－2，且f′(1)＝0，
即解得
(2)由(1)可知，f(x)＝x3－3x.
作出曲线y＝x3－3x的草图如图，
所求面积为阴影部分的面积，由x3－3x＝0得曲线y＝x3－3x与x轴的交点坐标是(－，0)，(0,0)和(，0)，而y＝x3－3x是R上的奇函数，所以函数图像关于原点成中心对称．
所以所求图形的面积为
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