课时提能演练(二十)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1. (2012·咸阳模拟)在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanA·tanB，则C等
于( )
(A) (B) (C) (D)
2.(2012·揭阳模拟)若tanα，tanβ是方程x2－6x＋7＝0的两个根，则α＋β＝( )
(A)π (B)
(C)2kπ＋π(k∈Z) (D)kπ－(k∈Z)
3.(预测题)如果α∈(，π)，且sinα＝，那么sin(α＋)－cosα
＝( )
(A) (B)－ (C) (D)－
4.已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α、β∈(0，)，则cos(α－β)的值等于( )
(A)－ (B) (C)－ (D)
5.若tanα＝lg(10a)，tanβ＝lg，且α＋β＝，则实数a的值为( )
(A)1 (B) (C)1或 (D)1或10
6.(2012·合肥模拟)已知角α在第一象限且cosα＝，则＝( )
(A) (B) (C) (D)－
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(2012·安庆模拟)sin62°cos58°＋cos62°sin122°的值为 .
8.(2012·汉中模拟)已知cos(x＋)＝，π＜x＜π，则sinx＝ .
9.(易错题)已知：0°＜α＜90°，0°＜α＋β＜90°，3sinβ＝sin(2α＋β)，则tanβ的最大值是 .
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(2012·九江模拟)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若0＜α＜，－＜β＜0，且sinβ＝－，求sinα的值.
11.已知函数f(x)＝(1－tanx)[1＋sin(2x＋)]，求
(1)函数f(x)的定义域和值域；
(2)写出函数f(x)的最小正周期和单调递增区间.
【探究创新】
(16分)已知α－β＝π且α≠kπ(k∈Z).求－4sin2(－)的最大值及取最大值时的条件.
答案解析
1.【解析】选A.由题意得，tanA＋tanB＝－(1－tanAtanB)，∴＝－，
即tan (A＋B)＝－，
又tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝，
∴C＝.
2.【解析】选D.由题意知tanα＋tanβ＝6，tanα·tanβ＝7，
tan(α＋β)＝＝＝－1，
∴α＋β＝kπ－.故选D.
3.【解析】选A.原式＝sinα＋cosα－cosα＝sinα＝.
4.【解析】选D.∵α∈(0，)，∴2α∈(0，π).
∵cosα＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝－，
∴sin2α＝＝，
而α，β∈(0，)，∴α＋β∈(0，π)，
∴sin(α＋β)＝＝，
∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]
＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)
＝(－)×(－)＋×＝.
5.【解题指南】利用两角和的正切公式求出tan(α＋β)的值，然后转化成关于lga的一元二次方程求得lga的值进而求出a的值.
【解析】选C.tan(α＋β)＝1
＝＝1lg2a＋lga＝0，
所以lga＝0或lga＝－1，即a＝1或.
6.【解析】选C.角α是第一象限角且cosα＝，
∴sinα＝，
∴＝
＝＝2cosα＋2sinα＝.
7.【解析】原式＝sin62°cos58°＋cos62°sin58°＝sin120°＝.
答案：
8.【解析】∵＜x＜，∴π＜x＋＜2π，
∴sin(x＋)＝－
＝－＝－，
∴sinx＝sin[(x＋)－]
＝sin(x＋)cos－cos(＋x)sin
＝－×－×＝.
答案：－
9.【解析】由3sinβ＝sin(2α＋β)得3sin(α＋β－α)
＝sin(α＋β＋α)，
化简得sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα，
∴tan(α＋β)＝2tanα，
∴tanβ＝tan(α＋β－α)＝
＝＝，
∵＋2tanα≥2，∴tanβ的最大值为＝.
答案：
【方法技巧】三角函数和差公式的灵活应用
(1)三角函数和、差公式在三角函数式的化简和求值中经常用到，因此公式的灵活应用非常关键，公式可以正用、逆用、变形应用.
(2)逆用关键在于构造公式的形式，方法是通过三角恒等变换出现和或差的形式，出现能逆用公式的条件；有时通过两式平方相加减，利用平方关系式，切函数化成弦函数等技巧.
10.【解析】(1)∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，
∴|a|＝1，|b|＝1，∵|a－b|＝，
∴a2－2a·b＋b2＝，∴a·b＝，
∴cosαcosβ＋sinαsinβ＝，∴cos(α－β)＝.
(2)∵0＜α＜，－＜β＜0，∴0＜α－β＜π.
∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝.
∵sinβ＝－，∴cosβ＝.
∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝×＋×(－)＝.
11.【解题指南】利用公式把f(x)变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式再求其性质.
【解析】f(x)＝(1－)(1＋sin2xcos＋cos2xsin)
＝(1－)(2sinxcosx＋2cos2x)
＝2(cosx－sinx)(cosx＋sinx)
＝2(cos2x－sin2x)＝2cos2x.
(1)函数f(x)的定义域为{x|x∈R，x≠kπ＋，k∈Z}，
∵2x≠2kπ＋π，k∈Z，∴2cos2x≠－2，∴函数f(x)的值域为(－2,2].
(2)f(x)的最小正周期为π，
令2kπ－π＜2x≤2kπ(k∈Z)，得kπ－＜x≤kπ(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调递增区间是(kπ－，kπ](k∈Z).
【变式备选】已知0＜α＜，0＜β＜且3sinβ＝sin(2α＋β),4tan＝1－tan2，求α＋β的值.
【解析】由4tan＝1－tan2
得tanα＝＝.
由3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，
得3sin(α＋β)cosα－3cos (α＋β)sinα
＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，
∴2sin(α＋β)cosα＝4cos(α＋β)sinα.
∴tan(α＋β)＝2tanα.∴tan(α＋β)＝1.
又∵0＜α＜，0＜β＜，∴0＜α＋β＜，
∴α＋β＝.
【探究创新】
【解析】令t＝－4sin2(－)
＝－4×
＝－4×(－sin)
＝2(sin＋sin)－2＝4sincos－2，
∵α－β＝π，∴＝＝－.
∴t＝4sin(－π)×(－)－2
＝－2sin(－)－2，
∵α≠kπ(k∈Z)，∴－π≠－(k∈Z)，
当－＝2kπ－，即α＝4kπ＋(k∈Z)时，
tmax＝－2×(－1)－2＝0.
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