课时提能演练(二十一)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.＝( )
(A) (B) (C)2 (D)
2.(2012·滁州模拟)已知α为第三象限的角，cos2α＝－，则tan(＋2α)＝( )
(A)－ (B) (C)－7 (D)7
3.(2012·宜春模拟)若＝－，则cosα＋sinα的值为( )
(A)－ (B)－ (C) (D)
4.已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝( )
(A)－ (B) (C)－ (D)
5.(预测题)已知函数f(x)＝－asincos(π－)的最大值为2，则常数a的值为( )
(A) (B)－ (C)± (D)±
6.若函数f(x)＝(sinx＋cosx)2－2cos2x－m在[0，]上有零点，则实数m的取值范围为( )
(A)[－1，] (B)[－1,1] (C)[1，] (D)[－，－1]
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.化简＝ .
8.(2012·合肥模拟)已知sin(＋α)＝，则sin2α的值为 .
9.(易错题)函数y＝(acosx＋bsinx)cosx有最大值2，最小值－1，则实数(ab)2的值为 .
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(2012·汉中模拟)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a(x∈R).
(1)若f(x)有最大值2，求实数a的值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间.
11.(2012·阜阳模拟)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos2x(x∈R).
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)若θ为锐角，且f(θ＋)＝，求tan2θ的值.
【探究创新】
(16分)已知函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导函数，
(1)求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的值域和最小正周期；
(2)若f(x)＝2f′(x)，求的值.
答案解析
1.【解析】选C.因为＝
＝＝＝2.
故答案为C.
2.【解析】选A.cos2α＝－，∴2cos2α－1＝－，2cos2α＝，∴cosα＝
－，sinα＝－＝，
∴tanα＝2，tan2α＝＝＝－，
tan(＋2α)＝＝＝－.
3.【解析】选C.∵sin(α－)≠0，
∴α－≠kπ，(k∈Z)
即α≠kπ＋，∴sinα≠cosα.
则＝
＝
＝－(cosα＋sinα)＝－.
∴cosα＋sinα＝.
4.【解析】选D.sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ
＝＝，
又tanθ＝2，故原式＝＝.
5.【解题指南】先利用公式进行三角恒等变形，把f(x)化成f(x)＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用最大值求得a.
【解析】选C.因为f(x)＝＋asinx
＝(cosx＋asinx)＝cos(x－φ)(其中tanφ＝a)，所以＝2，解得a＝±.
6.【解析】选A.f(x)＝(sinx＋cosx)2－2cos2x－m
＝1＋sin2x－2cos2x－m
＝1＋sin2x－1－cos2x－m
＝sin(2x－)－m，
又∵0≤x≤，∴0≤2x≤π，
∴－≤2x－≤，
∴－1≤sin(2x－)≤，
故当－1≤m≤时，f(x)在[0，]上有零点.
7.【解题指南】分子、分母分别用倍角公式变换注意约分.
【解析】原式＝
＝＝＝tanθ.
答案：tanθ
8.【解析】sin(＋α)＝cosα＋sinα＝，∴cosα＋sinα＝，平方得1＋sin2α＝，∴sin2α＝－.
答案：－
9.【解析】y＝acos2x＋bsinxcosx
＝a·＋sin2x
＝sin(2x＋φ)＋
∴，
∴a＝1，b2＝8，∴(ab)2＝8.
答案：8
【方法技巧】三角恒等变换的特点和变换技巧
(1)三角恒等变换就是利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍半角公式等进行简单的恒等变换. 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.
(2)对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角恒等变换的重要特点.
(3)在三角变换时要选准解决问题的突破口，要善于观察角的差异，注意拆角和拼角的技巧；观察函数名称的异同，注意切化弦、化异为同的方法的选用；观察函数式结构的特点等.
①注意掌握以下几个三角恒等变形的常用方法和简单技巧：
(ⅰ)常值代换，特别是“1”的代换，如：1＝sin2θ＋cos2θ等；
(ⅱ)项的分拆与角的配凑；
(ⅲ)降次与升次；
(ⅳ)万能代换.
②对于形如asinθ＋bcosθ的式子，要引入辅助角φ并化成sin(θ＋φ)的形式，这里辅助角φ所在的象限由a，b的符号决定，φ角的值由tanφ＝确定.对这种思想，务必强化训练，加深认识.
10.【解析】(1)f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a＝1＋cos2x＋sin2x＋a＝2sin(2x＋)＋1＋a，
当sin(2x＋)＝1，f(x)有最大值为3＋a，
∴3＋a＝2，解得a＝－1；
(2)令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z).
11.【解析】(1)f(x)＝2sinxcosx＋cos2x
＝sin2x＋cos2x
＝(sin2x＋cos2x)
＝sin(2x＋).
∴f(x)的最小正周期为＝π，最大值为.
(2)∵f(θ＋)＝，
∴sin(2θ＋)＝.
∴cos2θ＝.
∵θ为锐角，即0＜θ＜，∴0＜2θ＜π.
∴sin2θ＝＝.
∴tan2θ＝＝2.
【误区警示】在求解(2)时要注意θ的范围，从而确定sin2θ的正负，继而确定tan2θ的正负.
【探究创新】
【解题指南】(1)先求出f′(x)，代入F(x)进行三角恒等变换得到F(x)＝
Asin(ωx＋)＋B的形式，求其性质；(2)根据f(x)＝2f′(x)求出tanx的值，化简所求的式子后代入.
【解析】(1)∵f′(x)＝cosx－sinx，
∴F(x)＝f(x) f′(x)＋f2(x).
＝cos2x－sin2x＋1＋2sinxcosx
＝1＋sin2x＋cos2x
＝1＋sin(2x＋)
∴函数F(x)的值域为[1－，1＋]，
∴最小正周期为T＝＝π.
(2)∵f(x)＝2f′(x) sinx＋cosx＝2cosx－2sinx，
∴cosx＝3sinxtanx＝，
∴＝
＝＝＝.
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