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课时提能演练(二十一)
(45分钟 100分)
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.在△ABC中，a+b+10c=2(sinA+sinB+10sinC)，A=60°，则a=( )
(A) (B) (C)4 (D)不确定
2.（2012·台州模拟）在△ABC中，sinA·sinB=cos2,则△ABC的形状一定是( )
(A)直角三角形 (B)等腰三角形
(C)等边三角形 (D)等腰直角三角形
3.在△ABC中，已知a=，b=2， B=45°，则角A=( )
(A)30°或150° (B)60°或120°
(C)60° (D)30°
4.若三角形三边长的比为5∶7∶8，则它的最大角和最小角的和是( )
(A)90° (B)120° (C)135° (D)150°
5.(易错题)在△ABC中,A=120°,b=1,面积为,则=( )
(A) (B) (C) (D)
6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=bc,sinC=sinB,则A=( )
(A)30° (B)60° (C)120° (D)150°
二、填空题（每小题6分，共18分）
7.（2012·杭州模拟)△ABC的三个内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，已知a=2,b=3,则=______.
8.（2012·上饶模拟）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,若sinA,sinB,sinC成等比数列，且c=2a,则cosB=______.
9.在△ABC中，A＝30°，AB＝2，BC＝1，则△ABC的面积等于______.
三、解答题（每小题15分，共30分）
10.（2011·安徽高考）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，1+2cos(B+C)=0，求边BC上的高.
11.（预测题）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知bcosA-2ccosB=2bcosC-acosB.
(1)求的值；
(2)若cosB=,b=2,求△ABC的面积S.
【探究创新】
（16分）已知函数f(x)=cos(2x+)+sin2x
(1)求函数f(x)的单调递减区间及最小正周期;
(2)设锐角△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a,b,c,若c=，cosB=，f()= ，求b.
答案解析
1.【解析】选A.由已知及正弦定理得=2，
a=2sinA=2sin60°=，故选A.
2.【解析】选B.∵
=［1-(cosAcosB-sinAsinB）］
∴2sinAsinB=1-(cosAcosB-sinAsinB)
∴sinAsinB+cosAcosB=1
∴cos(A-B)=1
又A-B∈（-π，π），∴A-B=0
∴A=B，故△ABC为等腰三角形.
3.【解析】选D.由正弦定理得，，又因为b>a,故A=30°.
4.【解析】选B.设三边长为5x,7x,8x，最大的角为C，最小的角为A.
由余弦定理得：cosB=,
所以B=60°,所以A+C=180°-60°=120°.
5.【解题指南】先根据三角形的面积公式求出边AB的长,再由余弦定理可得边BC的长,最终根据正弦定理得解.
【解析】选C.∵A=120°,∴sinA=,
S=×1×AB×sinA=,∴AB=4.
根据余弦定理可得,
BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA=21,
∴BC=.
根据正弦定理可知:
,故选C.
6.【解题指南】由题目中已知等式的形式，利用正、余弦定理求解.
【解析】选A.由及sinC=sinB,
得c=b,
∴cosA=.
∵A为△ABC的内角，∴A=30°.
7.【解析】.
答案：
8.【解析】∵sinA,sinB,sinC成等比数列，
∴sin2B=sinA·sinC,
由正弦定理得，b2=ac,
由余弦定理得
cosB=
=.
答案：
9.【解析】由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos30°，
∴AC2－AC＋3＝0.∴AC＝.
∴S△ABC＝AB·ACsin30°＝.
答案：
【方法技巧】正、余弦定理求解面积问题
(1)当给出三角形两个角的三角函数值及其中一个角所对的边长，求三角形的面积时，主要利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，在求解过程中往往利用三角公式进行恒等变形.
(2)当以向量为背景考查正、余弦定理的应用时，关键是把三角形的面积用向量表示出来，用正余弦定理求出边长.
10.【解析】由1+2cos(B+C)=0和B+C=π-A，得
1-2cosA=0，cosA=，sinA=，
再由正弦定理，得sinB=.
由b＜a知B＜A，所以B不是最大角， B＜，从而cosB=.
由上述结果知
sinC=sin(A+B)=.
设边BC上的高为h，则有h=bsinC=.
【变式备选】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若(a＋b＋c)(sinA＋sinB－sinC)＝3asinB，求C的大小.
【解析】由题意可知，
(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
于是有a2＋2ab＋b2－c2＝3ab，
即，
所以cosC＝，所以C＝60°.
11.【解析】(1)由正弦定理，设,
则,
所以.
即(cosA-2cosC)sinB=(2sinC-sinA)cosB,
化简可得sin(A+B)=2sin(B+C).
又A+B+C=π,
所以sinC=2sinA
因此=2.
(2)由=2得c=2a.
由余弦定理
b2=a2+c2-2accosB及cosB=,b=2,
得4=a2+4a2-4a2×.
解得a=1.因此c=2.
又因为cosB=,0
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