课时提能演练(二十三)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.如果在测量中，某渠道斜坡坡度为，设α为坡角，那么cosα等于( )
(A) (B) (C) (D)
2.线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始几小时后，两车的距离最小( )
(A) (B)1 (C) (D)2
3.(2012·三明模拟)在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高是( )
(A)米 (B)米
(C)200米 (D)200米
4.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状
为( )
(A)锐角三角形 (B)直角三角形
(C)钝角三角形 (D)由增加的长度决定
5.某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为( )
(A)15米 (B)5米 (C)10米 (D)12米
6.一船向正北方向匀速航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时( )
(A)5海里 (B)5海里
(C)10海里 (D)10海里
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.某人站在60米高的楼顶A处测量不可到达的电视塔高，测得塔顶C的仰角为30°，塔底B的俯角为15°，已知楼底部D和电视塔的底部B在同一水平面上，则电视塔的高为 米.
8.(2012·合肥模拟)如图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m km后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n km范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行.当α与β满足条件 时，该船没有触礁危险.
9.(易错题)气象部门预报，在距离码头A南偏东45°方向400千米B处的台风中心正以每小时20千米的速度向北偏东15°方向沿直线移动，以台风中心为圆心，距台风中心100千米以内的地区都将受到台风影响，据以上预报估计，码头A将受到台风影响的时间为 小时.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(2012·西安模拟)某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝14，BC＝10，AC＝16，∠C＝∠D.
(1)求AB的长度；
(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低，请说明理由.
11.(2012·皖南八校模拟)据气象台预报，距S岛正东方向300 km的A处有一台风中心形成，并以每小时30 km的速度向北偏西30°角的方向移动，在距台风中心270 km及以内的地区将受到台风的影响.
问：S岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由.
【探究创新】
(16分)如图，A，B，C是三个汽车站，AC，BE是直线型公路.已知AB＝120 km，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°.有一辆车(称甲车)以每小时96 km的速度往返于车站A，C之间，到达车站后停留10分钟；另有一辆车(称乙车)以每小时120 km的速度从车站B开往另一个城市E，途经车站C，并在车站C也停留10分钟.已知早上8点时甲车从车站A，乙车从车站B同时开出.
(1)计算A，C两站距离及B，C两站距离；
(2)若甲、乙两车上各有一名旅客需要交换到对方汽车上，问能否在车站C处利用停留时间交换；
(3)求10点时甲、乙两车的距离.
(参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4，≈18.2)
答案解析
1.【解题指南】坡度是坡角α的正切值，可根据同角三角函数关系式求出
cosα.
【解析】选B.因为tanα＝，则sinα＝cosα，代入sin2α＋cos2α＝1得：cosα＝.
2.【解析】选C.如图所示，设过x h后两车距离为y，则BD＝200－80x，BE＝50x，
∴y2＝(200－80x)2＋(50x)2
－2×(200－80x)·50x·cos60°，
整理得y2＝12 900x2－42 000x＋
40 000(0≤x≤2.5)，
∴当x＝时y2最小，即y最小.
3.【解析】选A.设塔高为x米，则由题意得200tan30°＝(200－x)tan60°，解得x＝.
4.【解析】选A.设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2＝a2＋b2，a＋b>c.新的三角形的三边长为a＋x、b＋x、c＋x，知c＋x为最长边，其对应角最大.
而(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝x2＋2(a＋b－c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦值为正，则最大角为锐角，那么它为锐角三角形.
5.【解题指南】作出图形确定三角形，找到要用的角度和边长，利用余弦定理求得.
【解析】选C.如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，
则OC＝OA＝h.
在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝h，
在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，
由余弦定理得：OD2＝OC2＋CD2－2OC·CD·cos∠OCD，
即(h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，
∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍去).
6.【解析】选C.如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10海里，在直角三角形ABC中，可得AB＝5海里，于是这只船的速度是＝10(海里/小时).
7.【解析】如图，用AD表示楼高，AE与水平面平行，E在线段BC上，
设塔高为h，
因为∠CAE＝30°，∠BAE＝15°，AD＝BE＝60，
则AE＝＝＝120＋60，
在Rt△AEC中，
CE＝AE·tan30°＝(120＋60)×＝60＋40，
所以塔高为60＋40＋60＝(120＋40)米.
答案：120＋40
8.【解析】由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得 ＝，解得BM＝，要使船没有触礁危险需要BMsin(90°－β)＝>n，所以α与β的关系满足mcosαcosβ>nsin (α－β)时，该船没有触礁危险.
答案：mcosαcosβ>nsin(α－β)
9.【解析】设经过t小时台风到达C处，码头A受到影响，则BC＝20t，由题意知：AC≤100，得，
4002＋(20t)2－2×400×20tcos60°≤(100)2，
整理得：t2－20t＋75≤0,5≤t≤15，
故码头A在5小时后将受到影响；受到影响的时间是10小时.
答案：10
10.【解析】(1)在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝162＋102－2×16×10·cosC ①
在△ABD中，由余弦定理及∠C＝∠D整理得
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcosD＝142＋142－2×142cosC ②
由①②得：142＋142－2×142cosC＝162＋102－2×16×10cosC，整理可得cosC＝，
又∠C为三角形的内角，所以C＝60°，
又∠C＝∠D，AD＝BD，所以△ABD是等边三角形，
故AB＝14，即AB的长度为14.
(2)小李的设计使建造费用较低.
理由如下：
S△ABD＝AD·BDsinD，S△ABC＝AC·BCsinC，
因为AD·BD＞AC·BC，sinD＝sinC，所以S△ABD＞S△ABC，
由已知建造费用与用地面积成正比，故选择以△ABC为底座形状建造环境标志费用较低.即小李的设计使建造费用较低.
11.【解题指南】设B为台风中心，则B为AB边上的动点，SB也随之变化.S岛是否受台风影响可转化为SB≤270这一不等式是否有解的判断，则需表示SB，可设台风中心经过t小时到达B点，则在△ABS中，由余弦定理可求SB.
【解析】如图，设台风中心经过t小时到达B点，由题意：
∠SAB＝90°－30°＝60°，
在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60°，
由余弦定理得：
SB2＝SA2＋AB2－2SA·AB·cos∠SAB
＝3002＋(30t)2－2×300×30tcos60°，
若S岛受到台风影响，则应满足条件：
|SB|≤270，即SB2≤2702，化简整理得t2－10t＋19≤0，
解之得5－≤t≤5＋，
所以从现在起，经过(5－)小时S岛开始受到影响，(5＋)小时后影响结束，持续时间：(5＋)－(5－)＝2(小时).
所以S岛会受到台风影响，从现在起经过(5－)小时受到台风影响，且持续时间为2小时.
【误区警示】在求解不等式后所得的t的范围中，若出现负值，则应考虑实际意义.
【探究创新】
【解析】(1)在△ABC中，∠ACB＝60°.
∵＝＝，
∴AC＝＝＝40≈96(km)，
BC＝＝＝60＋20≈132(km).
(2)能.理由如下：甲车从车站A开到车站C约用时间为＝1(小时)＝60(分钟)，即9点到C站，9点零10分开出.乙车从车站B开到车站C约用时间为＝1.1(小时)＝66 (分钟)，即9点零6分到C站，9点零16分开出.则两名旅客可在9点零6分到10分这段时间内交换到对方汽车上.
(3)10点时甲车离开C站的距离为×96＝80(km)，乙车离开C站的距离为×120＝88(km)，两车的距离等于
＝8＝8≈8×18.2＝145.6(km)
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