单元评估检测（八）
（第八章）
（120分钟 150分）
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.直线xsinα-y+1=0的倾斜角的变化范围是( )
(A)(0,) (B)(0,π)
(C)［,］ (D)［0,］∪［,π)
2.(2012·湘潭模拟)点(1，cosθ)到直线xsinθ+ycosθ-1=0的距离是
(0°≤θ≤180°),那么θ=( )
(A)150° (B)30°或150°
(C)30° (D)30°或210°
3.已知直线l1与圆x2+y2+2y=0相切，且与直线l2：3x+4y-6=0平行，则直线l1的方程是( )
(A)3x+4y-1=0
(B)3x+4y+1=0或3x+4y-9=0
(C)3x+4y+9=0
(D)3x+4y-1=0或3x+4y+9=0
4．“λ>-1”是“方程-=1表示双曲线”的( )
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
5.已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为( )
(A)-4+ (B)-3+
(C)-4+2 (D)-3+2
6.(2012·常德模拟)椭圆=1的焦距等于2，则m的值为( )
(A)5或3 (B)8 (C)5 (D)16
7．已知双曲线-m2x2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
8．若PQ是圆x2+y2=16的弦，PQ的中点是M（1，3），则直线PQ的方程是( )
（A）x+3y-4=0 （B）x+3y-10=0
（C）3x-y+4=0 （D）3x-y=0
二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上)
9．已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为________________.
10．（2012·郑州模拟）已知抛物线y2=2px(p>1)的焦点F恰为双曲线- =1(a>0,b>0)的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则双曲线的离心率为____.
11.设F1,F2分别是椭圆+=1(a＞b＞0)的左、右焦点,若直线x= (c=)上存在点P使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是
__________.
12．（2012·广州模拟）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于_____.
13．若k∈R，直线y=kx+1与圆x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点，则实数a的取值范围是______．
14．已知直线l1：(a-2)x+3y+a=0与l2：ax+(a-2)y-1=0互相垂直，则a=____.
15．抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值等于______.
三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．（12分）设直线l的方程为（a+1）x+y-2-a=0（a∈R）.
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
（2）若a>-1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取最小值时，直线l对应的方程.
17．（12分）已知动点C到点A（-1，0）的距离是它到点B（1，0）的距离的倍.
（1）试求点C的轨迹方程；
（2）已知直线l经过点P（0，1）且与点C的轨迹相切，试求直线l的方程.
18．(12分)(探究题)已知椭圆+=1(a>b>0),过点A（a,0）,B(0,b)的直线倾斜角为,原点到该直线的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
19．(13分)(2012·株洲模拟)设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P，Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足＝0.
(1)求m的值；
(2)求直线PQ的方程.
20.（13分）(预测题)已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x2=y的焦点是它的一个焦点，又点A(1,）在该椭圆上.
（1）求椭圆E的方程;
（2）若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，当△ABC的面积最大时，求直线l的方程.
21.（13分）（2012·南通模拟）已知直线l1:y=2x+m(m<0)与抛物线C1:y=ax2(a>0)和圆C2:x2+(y+1)2=5都相切，F是C1的焦点.
（1）求m与a的值；
（2）设A是C1上的一动点，以A为切点作抛物线C1的切线l，直线l交y轴于点B，以FA、FB为邻边作平行四边形FAMB，证明：点M在一条定直线上；
（3）在（2）的条件下，记点M所在定直线为l2，直线l2与y轴交点为N，连接MF交抛物线C1于P、Q两点，求△NPQ的面积S的取值范围.
答案解析
1.【解析】选D.直线xsinα-y+1=0的斜率是k=sinα.
又∵-1≤sinα≤1,∴-1≤k≤1.
∴当0≤k≤1时，倾斜角的范围是［0，］;
当-1≤k<0时，倾斜角的范围是［,π).
2.【解析】选B.由题意知=|sinθ-sin2θ|,
又0≤sinθ≤1,∴sin2θ-sinθ+=0,
(sinθ-)2=0,∴sinθ=,
又0°≤θ≤180°,∴θ=30°或150°.
3.【解析】选D.因为l1与l2平行，所以可设直线l1的方程为：3x+4y+c=0,又因为l1与圆x2+y2+2y=0相切，且圆心坐标为（0，-1），半径为1,所以=1,解得c=9或c=-1，
因此l1的方程为3x+4y+9=0或3x+4y-1=0.
4．【解析】选A.因为当λ>-1时，方程=1表示双曲线；当=1表示双曲线时，λ>-1或λ<-2.所以“λ>-1”是“方程=1表示双曲线”的充分不必要条件.
5．【解析】选D.如图所示：设PA=PB=x(x>0),∠APO=α,则∠APB=2α， sinα=
=cos2α=
令则
即x4-(1+y)x2-y=0,
由x2是实数，所以
Δ=［-(1+y)］2-4×1×(-y)≥0,
y2+6y+1≥0,
解得
故
6．【解析】选A.当m>4时，m-4=1,m=5;
当m<4时，4-m=1,m=3.
7．【解析】选C.双曲线的方程可化为-=1，所以a=,b=,取顶点（0，），一条渐近线为mx-4y=0.
∵=,即m2+16=25,∴m=3.
8．【解析】选B.圆心为O（0，0），故直线OM斜率k==3，因为弦PQ所在直线与直线OM垂直，所以kPQ=,其方程为y-3=(x-1),整理，得x+3y-10=0.
9．【解题指南】由于圆与两平行线都相切,故两平行线间距离即为直径,只要再求得圆心坐标即可得解.
【解析】选B.因为两条直线x-y=0与x-y-4=0平行,故它们之间的距离即为圆的直径,所以2R=,所以R=.设圆心坐标为P(a,-a),则点P到两条切线的距离都等于半径,所以=, =,解得a=1,故圆心为(1,-1),所以圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
10．【解析】选B.由题意知，=c,即p=2c
由得b2x2-4ca2x-a2b2=0 *
由题意知x=c是方程*的一个根，则有
b2c2-4a2c2-a2b2=0
即c4-6a2c2+a4=0
∴e4-6e2+1=0
又e>1
∴e2=3+,e=+1.
11.【解题指南】根据|F1F2|=|PF2|转化为点F2到直线x=的距离小于或等于|F1F2|来寻找a,b,c之间的关系,从而求解.
【解析】选B.根据题目条件可知:
若直线x=(c=)上存在点P使线段PF1的中垂线过点F2,则|F1F2|=|PF2|,可转化为点F2到直线x=的距离小于或等于|F1F2|，亦即-c≤2c，解得≥，所以e∈［，1）.
12．【解析】设2a、2b分别为椭圆的长轴长、短轴长，依题设有4b=2a,即a=2b,所以c= =b,所以离心率为e==.
答案：
13．【解析】因为直线y=kx+1恒过定点（0，1），题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，则02+12-2a·0+a2-2a-4≤0且2a+4>0,解得-1≤a≤3.
答案：-1≤a≤3
14．【解析】因为l1：(a-2)x+3y+a=0与l2:ax+(a-2)y-1=0互相垂直
所以，a(a-2) +3(a-2)=0,解得a=2或a=-3.
答案：2或-3
15．【解析】由抛物线的方程，可设抛物线上的点的坐标为(x,-x2)，根据点到直线的距离公式，得
d==,所以当x=时，d取得最小值.
答案：
16．【解析】（1）当直线l经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a+2=0，解得a=-2，此时直线l的方程为-x+y=0，即x-y=0；
当直线l不经过坐标原点，即a≠-2且a≠-1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得=2+a，解得a=0，此时直线l的方程为x+y-2=0.
所以直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0.
（2）由直线方程可得M(,0),N(0,2+a),
又因为a>-1.
故S△OMN==
=
≥=2,
当且仅当a+1=,即a=0时等号成立.此时直线l的方程为x+y-2=0.
17．【解题指南】（1）利用直接法列出方程，化简即可.（2）对斜率是否存在分类讨论，根据切线的性质求斜率，进而求出方程.
【解析】（1）设点C（x,y），则|CA|=,|CB|=.
由题意，得=.
两边平方，得(x+1)2+y2=2×［(x-1)2+y2］.
整理，得（x-3）2+y2=8.
故点C的轨迹是一个圆，其方程为（x-3）2+y2=8.
（2）由（1），得圆心为M（3，0），半径r=.
①若直线l的斜率不存在，则方程为x=0，圆心到直线的距离d=3≠,故该直线与圆不相切；
②若直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx+1.
由直线和圆相切，得d= =,整理，得k2+6k-7=0,解得k=1,或k=-7.故所求直线的方程为y=x+1,或y=-7x+1,即x-y+1=0或7x+y-1=0.
18．【解析】（1）由=,a·b=··,得a=,b=1,所以椭圆方程是+y2=1.
（2）将y=kx+2代入+y2=1,
得(3k2+1)x2+12kx+9=0(*)
记P(x1,y1),Q(x2,y2),以PQ为直径的圆过D（1，0），则PD⊥QD，即(x1-1,y1)·(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,又y1=kx1+2,y2=kx2+2,得
（k2+1）x1x2+(2k-1)(x1+x2)+5=0 ……①
又x1x2=,x1+x2=,代入①解得k=，此时（*）方程Δ>0，∴存在k=,满足题设条件.
19．【解析】(1)曲线方程为(x+1)2+(y-3)2=9,表示圆心为(-1，3)，半径为3的圆.
∵点P，Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，
∴圆心(-1，3)在直线x+my+4=0上，
代入得m=-1.
(2)∵直线PQ与直线y=x+4垂直，
∴可设直线PQ的方程为y=-x+b.
将直线y=-x+b代入圆的方程，得2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0,
由Δ＝4(4-b)2-4×2×(b2-6b+1)>0,
得
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由根与系数的关系得x1+x2=-(4-b),
∴
又＝0，
∴x1x2+y1y2=0,即b2-6b+1+4b=0,
解得b=1∈(2-3,2+3),
∴所求的直线方程为x+y-1=0.
20.【解析】（1）由已知抛物线的焦点为（0,)，故设椭圆方程为+ =1（a>2）.
将点A(1,)代入方程得+=1，
整理得a4-5a2+4=0，得a2=4或a2=1（舍）,
故所求椭圆方程为+=1.
（2）设直线BC的方程为y=x+m，
设B(x1,y1),C(x2,y2),
代入椭圆方程并化简得4x2+mx+m2-4=0,
由Δ=8m2-16(m2-4)=8(8-m2)>0,
可得0≤m2<8. (*)
由x1+x2=,x1x2=,
故|BC|=|x1-x2|=.
又点A到BC的距离为d=,
故S△ABC=|BC|·d=
≤·=,
当且仅当2m2=16-2m2,即m=±2时取等号（满足*式），此时直线l的方程为y=.
【方法技巧】
解决解析几何中最值问题的常用求法
解析几何中的最值问题是高考考查的一个重要方向,既可以出现在选择题、填空题中,也可以出现在解答题中,根据待求量的特点,常用以下两种思想方法:
(1)数形结合思想:当待求量有几何意义时,一般利用其几何性质,数形结合求解.
(2)函数思想:当待求量与其他变量有关时,一般引入该变量构造函数,然后求最值,但要注意待求量的取值范围.
【变式备选】已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为 ,短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线l：y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B，
（1）求椭圆的方程，
（2）若坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.
【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，依题意,解得c=.
由a2=b2+c2,得b=1.
∴所求椭圆方程为+y2=1.
(2)由已知得=,可得m2=(k2+1).
将y=kx+m代入椭圆方程，
整理得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0.
Δ=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-3) >0 (*)
∴x1+x2=,x1·x2=.
∴|AB|2=（1+k2）(x2-x1)2
=(1+k2) ==
=3+==4(k≠0)
当且仅当9k2=,即k=时等号成立.
经检验，k=满足（*）式.
当k=0时，|AB|=.
综上可知|AB|max=2.
∴当|AB|最大时，△AOB的面积取最大值Smax==.
21.【解析】（1）由已知，圆C2:x2+(y+1)2=5的圆心为C2(0,-1)，半径r=.由题设圆心到直线l1:y=2x+m的距离d=，即=,解得m=-6(m=4舍去).
设l1与抛物线的切点为A0(x0,y0),又y′=2ax,得2ax0=2?
x0=,y0=.
代入直线方程得：=-6,∴a=，
所以m=-6,a=.
（2）由（1）知抛物线C1方程为y=x2,焦点F（0，）.
设A（x1,）,由（1）知以A为切点的切线l的方程为y=.令x=0,得切线l交y轴的B点坐标为（0，）
所以=（x1, -）,=(0, ),
∵四边形FAMB是以FA、FB为邻边的平行四边形，∴=+ =（x1，-3）,因为F是定点，所以点M在定直线y=上.
（3）设直线MF：y=kx+,代入y=得-kx-=0,设P、Q两点横坐标分别为x′1,x′2,
得x′1+x′2=6k,x′1·x′2=-9，
S△NPQ=|NF||x′1-x′2|
=×3×
=,
∵k≠0,∴S△PQN>9，即△NPQ的面积S范围是（9，+∞）.
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