单元评估检测(八) （第八章） (120分钟 150分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.直线xsinα－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是(　　) (A)(0，)　　　　　　 (B)(0，π) (C)[－，] (D)[0，]∪[，π) 2.已知b>0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，则ab的最小值等于(　　) (A)1　 　　(B)2　 　　(C)2　　　 (D)2 3.(2012·合肥模拟)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为(　　) (A) (B)2 (C) (D)2 4.(2012·九江模拟)椭圆＋＝1的内接矩形的面积的最大值是(　　) (A)48 (B)36 (C)24 (D)12 5.(2012·宝鸡模拟)过y轴正方向上一点C(0，c)任作一直线，与抛物线y＝x2相交于A、B两点，若＝2，则c的值为(　　) (A)4 　　　(B)4 　　　(C) 　　　(D)2 6.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点是(1,0)，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆C的方程为(　　) (A)＋＝1 　　　　(B)＋＝1 (C)＋＝1 　　　　(D)＋＝1 7.(2012·淮南模拟)焦点为(0,6)且与双曲线－y2＝1有相同渐近线的双曲线方程是(　　) (A)－＝1 (B)－＝1 (C)－＝1 (D)－＝1 8.(2012·榆林模拟)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为(　　) (A)(x＋1)2＋(y－1)2＝2 (B)(x－1)2＋(y＋1)2＝2 (C)(x－1)2＋(y－1)2＝2 (D)(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 9.两个正数a、b的等差中项是，等比中项是，则双曲线－＝1的离心率e等于(　　) (A) (B)或 (C) (D)或 10.(易错题)设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若直线x＝(c＝)上存在点P使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(　　) (A)(0，] (B)[，1) (C)[，1) (D)(0，] 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上) 11.(2012·蚌埠模拟)椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为　　　　. 12.若k∈R，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2－2ax＋a2－2a－4＝0恒有交点，则实数a的取值范围是　　　　. 13.(2012·鹰潭模拟)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以椭圆的长轴端点为焦点的双曲线方程为　　　　. 14.(2012·咸阳模拟)已知双曲线的方程是－＝1，设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上且|PF1|·|PF2|＝32，则∠F1PF2＝　　　. 15.抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值等于　　　　. 三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(12分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R). (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； (2)若a>－1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取最小值时，直线l对应的方程. 17.(12分)如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1)，且被x轴分成的两段弧长之比为2∶1，过点H(0，t)的直线l与圆C相交于M、N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O. (1)求圆C的方程； (2)当t＝1时，求出直线l的方程； (3)求直线OM的斜率k的取值范围. 18.(12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，过点A(a,0)，B(0，b)的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为. (1)求椭圆的方程； (2)是否存在实数k，使直线y＝kx＋2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D(1,0)？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. 19.(12分)(预测题)已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x2＝－4y的焦点是它的一个焦点，又点A(1，)在该椭圆上. (1)求椭圆E的方程； (2)若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，当△ABC的面积最大时，求直线l的方程. 20.(13分)(探究题)已知抛物线L的方程为x2＝2py(p>0)，直线y＝x截抛物线L所得弦长为.  (1)求p的值； (2)若直角三角形ABC的三个顶点在抛物线L上，且直角顶点B的横坐标为1，过点A、C分别作抛物线L的切线，两切线相交于点D，直线AC与y轴交于点E，当直线BC的斜率在[3,4]上变化时，直线DE斜率是否存在最大值，若存在，求其最大值和此时直线BC的方程；若不存在，请说明理由. 21.(14分)(2012·西安模拟)如图，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1、F2，其上顶点为A.已知△F1AF2是边长为2的正三角形. (1)求椭圆C的方程； (2)过点Q(－4,0)任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记若在线段MN上取一点R，使得试判断当直线l运动时，点R是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线的方程；若不在，请说明理由. 答案解析 1.【解析】选D.直线xsinα－y＋1＝0的斜率是k＝sinα. 又∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1. ∴当0≤k≤1时，倾斜角的范围是[0，]； 当－1≤k<0时，倾斜角的范围是[，π). 2.【解析】选B.由题意知－·＝－1，解得a＝.所以ab＝·b＝＝b＋；又因为b>0，故b＋≥2，当且仅当b＝，即b＝1时取等号. 3.【解析】选D.∵直线的方程为y＝x，圆心为(0,2)，半径r＝2，由点到直线的距离公式得弦心距等于1，从而所求弦长等于2＝2. 4.【解析】选C.由椭圆的对称性知，矩形的边平行于对称轴，设矩形在第一象限内的点为P(m，n)，则＋＝1，矩形的长与宽分别为2m,2n，S＝4mn. 由1＝＋≥2，∴mn≤6，∴S≤24. 5.【解析】选D.可考虑AB∥x轴这一特殊情况，不妨令A点坐标为(－，c)，B点坐标为(，c)，则＝c2－c＝2，∴c＝2或c＝－1(舍). 6.【解析】选B.因为椭圆C的一个焦点是(1,0)，所以c＝1.因为椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，所以＝，解得a＝2，b＝，所以椭圆C的标准方程为＋＝1，故选B. 7.【解析】选B.设要求双曲线方程为－y2＝λ， 即－＝1， ∵焦点为(0,6)，∴λ＜0，方程为－＝1， ∴＝6，λ＝－12，∴双曲线方程为－＝1. 8.【解题指南】由于圆与两平行线都相切，故两平行线间距离即为直径，只要再求得圆心坐标即可得解. 【解析】选B.因为两条直线x－y＝0与x－y－4＝0平行，故它们之间的距离即为圆的直径，所以2R＝，所以R＝.设圆心坐标为P(a，－a)，则点P到两条切线的距离都等于半径，所以＝，＝，解得a＝1，故圆心为(1，－1)，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 9.【解析】选D.由题意，可得， 解得或. 当a＝3，b＝2时，双曲线的离心率为e＝＝＝＝； 当a＝2，b＝3时，双曲线的离心率为e＝＝＝＝. 所以双曲线的离心率为或. 10.【解题指南】根据|F1F2|＝|PF2|转化为点F2到直线x＝的距离小于或等于|F1F2|来寻找a、b、c之间的关系，从而求解. 【解析】选B.根据题目条件可知： 若直线x＝(c＝)上存在点P使线段PF1的中垂线过点F2，则|F1F2|＝|PF2|，可转化为点F2到直线x＝的距离小于或等于|F1F2|，亦即－c≤2c，解得≥，所以e∈[，1). 11.【解析】设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则c＝b， ∴a＝＝2b，∴e＝＝. 答案： 12.【解析】因为直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上，则02＋12－2a·0＋a2－2a－4≤0且2a＋4>0，解得－1≤a≤3. 答案：－1≤a≤3 13.【解析】∵＋＝1，∴椭圆的焦点为(0，)，(0，－)，长轴端点为(0，)，(0，－)， ∴双曲线的顶点为(0，)，(0，－)，焦点为(0，)，(0，－)， ∴a＝，c＝，∴b2＝3， ∴双曲线的方程为－＝1. 答案：－＝1 14.【解析】由方程－＝1，得a2＝9，b2＝16，c2＝25，设∠F1PF2＝θ. 在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ ＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|(1－cosθ)， ∵|F1F2|＝2c＝10，＝2a＝6， ∴100＝36＋64(1－cosθ)， ∴cosθ＝0，即θ＝. 答案： 15.【解析】由抛物线的方程，可设抛物线上的点的坐标为 (x，－x2)，根据点到直线的距离公式，得 d＝＝(x－)2＋，所以当x＝时，d取得最小值. 答案： 16.【解析】(1)当直线l经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a＋2＝0，解得a＝－2，此时直线l的方程为－x＋y＝0，即x－y＝0； 当直线l不经过坐标原点，即a≠－2且a≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得＝2＋a，解得a＝0，此时直线l的方程为x＋y－2＝0. 所以直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0. (2)由直线方程可得M(，0)，N(0,2＋a)， 又因为a>－1. 故S△OMN＝××(2＋a)＝× ＝×[(a＋1)＋＋2]≥× [2＋2]＝2，当且仅当a＋1＝，即a＝0时等号成立.此时直线l的方程为x＋y－2＝0. 17.【解析】(1)因为位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1)，所以圆心C在直线y＝1上， 设圆C与x轴的交点分别为A、B， 由圆C被x轴分成的两段弧长之比为2∶1， 得∠ACB＝. 所以CA＝CB＝2，圆心C的坐标为(－2,1)， 所以圆C的方程为：(x＋2)2＋(y－1)2＝4. (2)当t＝1时，由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝mx＋1， 由得 或， 不妨令M(，)，N(0,1)， 因为以MN为直径的圆恰好经过O(0,0)， 所以＝(，)·(0,1) ＝＝0， 解得m＝2±，所以所求直线l的方程为 y＝(2＋)x＋1或y＝(2－)x＋1. (3)设直线MO的方程为y＝kx， 由直线OM为圆C的割线或切线，点C到OM的距离不大于2知，≤2，解之得k≤， 考虑直线NO：y＝－x，同理得k≤－或k＞0. 由(2)知，k＝0也满足题意. 所以k的取值范围是(－∞，－]∪[0，]. 【方法技巧】巧用性质求圆的方程 本题(1)还可以巧用圆的几何性质求解，因为圆M过两点A(1，－1)， B(－1,1)，所以，AB的垂直平分线y＝x过圆心M，所以由解得，得M(1,1)， 半径r＝|MA|＝＝2， 所以圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 18.【解析】(1)由＝，a·b＝··，得a＝，b＝1，所以椭圆方程是＋y2＝1. (2)将y＝kx＋2代入＋y2＝1， 得(3k2＋1)x2＋12kx＋9＝0(*) 记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，以PQ为直径的圆过D(1,0)，则PD⊥QD，即(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，又y1＝kx1＋2，y2＝kx2＋2，得 (k2＋1)x1x2＋(2k－1)(x1＋x2)＋5＝0 …………………………………… ① 又x1x2＝，x1＋x2＝－，代入①解得k＝－ 此时(*)方程Δ>0，∴存在k＝－，满足题设条件. 19.【解析】(1)由已知抛物线的焦点为(0，－)，故设椭圆方程为＋＝1(a>). 将点A(1，)代入方程得＋＝1， 整理得a4－5a2＋4＝0，得a2＝4或a2＝1(舍)， 故所求椭圆方程为＋＝1. (2)设直线BC的方程为y＝x＋m， 设B(x1，y1)，C(x2，y2)， 代入椭圆方程并化简得4x2＋2mx＋m2－4＝0， 由Δ＝8m2－16(m2－4)＝8(8－m2)>0， 可得0≤m2<8. (*) 由x1＋x2＝－m，x1x2＝， 故|BC|＝|x1－x2|＝. 又点A到BC的距离为d＝， 故S△ABC＝|BC|·d＝ ≤·＝， 当且仅当2m2＝16－2m2，即m＝±2时取等号(满足*式)，此时直线l的方程为y＝x±2. 【方法技巧】解决解析几何中最值问题的常用求法 解析几何中的最值问题是高考考查的一个重要方向，既可以出现在选择题、填空题中，也可以出现在解答题中，根据待求量的特点，常用以下两种思想方法： (1)数形结合思想：当待求量有几何意义时，一般利用其几何性质，数形结合求解. (2)函数思想：当待求量与其他变量有关时，一般引入该变量构造函数，然后求最值，但要注意待求量的取值范围. 【变式备选】已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线l：y＝kx＋m交椭圆于不同的两点A，B， (1)求椭圆的方程， (2)若坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值. 【解析】(1)设椭圆的半焦距为c，依题意， 解得c＝，由a2＝b2＋c2，得b＝1. ∴所求椭圆方程为＋y2＝1. (2)由已知得＝，可得m2＝(k2＋1). 将y＝kx＋m代入椭圆方程， 整理得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0. Δ＝(6km)2－4(1＋3k2)(3m2－3)>0 (*) ∴x1＋x2＝，x1·x2＝. ∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2 ＝(1＋k2)[－] ＝＝ ＝3＋＝3＋ ≤3＋＝4(k≠0) 当且仅当9k2＝，即k＝±时等号成立. 经检验，k＝±满足(*)式. 当k＝0时，|AB|＝. 综上可知|AB|max＝2. ∴当|AB|最大时，△AOB的面积取最大值Smax＝×2×＝. 20.【解析】(1)由解得M(0,0)，N(2p,2p) ∴＝MN＝＝2p，∴p＝. (2)B(1,1)，设A(x1，x12)，C(x2，x22)， kAC＝＝x1＋x2 设直线BC的斜率为k，则?x2－kx＋k－1＝0，且Δ＝k2－4k＋4≥0， 又1＋x2＝k，得x2＝k－1，故C(k－1，(k－1)2)， 由AB⊥BC得直线AB的斜率，进而得直线AB的方程，将AB的方程与抛物线联立，同理可得A(－－1，(＋1)2)，kAC＝x1＋x2＝k－－2， 直线AC的方程为y－(k－1)2＝(k－－2)[x－(k－1)]，令x＝0，y＝k－，所以E(0，k－) 直线AD的方程：y－x12＝2x1(x－x1) ?y＝2x1x－x12 同理CD：y＝2x2x－x22，联立两方程得 D((k－－2)，－k)， kED＝＝ ＝4＝－4(1＋) 令u＝k－，则u在[3,4]上递增，所以，当k＝4时，kED最大为－. 所以，BC的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0. 21.【解析】(1)△F1AF2是边长为2的正三角形，则c＝1，a＝2， 故椭圆C的方程为＋＝1. (2)直线MN的斜率必存在，设其直线方程为y＝k(x＋4)，并设M(x1，y1)，N(x2，y2).联立方程，消去y得(3＋4k2)x2＋32k2x＋64k2－12＝0，则Δ＝144(1－4k2)＞0，x1＋x2＝，x1·x2＝. 由得－4－x1＝λ(x2＋4)，故λ＝－. 设点R的坐标为(x0，y0)，则由得x0－x1＝－λ(x2－x0)，解得x0＝ ＝＝. 又2x1x2＋4(x1＋x2)＝2×＋4×＝，(x1＋x2)＋8＝＋8＝， 从而x0＝＝－1， 故点R在定直线x＝－1上.
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