单元评估检测（五）
（第五章）
（120分钟 150分）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2012·芜湖模拟)已知等差数列{an}满足a3＋a13－a8＝2，则{an}前15项和S15等于( )
(A)60 (B)30 (C)15 (D)10
2.(2012·南昌模拟)已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn表示{an}的前n项的和，若a1＝3，a2a4＝144，则S5的值是( )
(A) (B)69 (C)93 (D)189
3.(2012·淮南模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝( )
(A)3∶4 (B)2∶3 (C)1∶2 (D)1∶3
4.已知数列{an}中，a1＝1，以后各项由公式an＝an－1＋(n≥2，n∈N＋)给出，则a4＝( )
(A) (B)－ (C) (D)－
5.已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值为( )
(A) (B)－ (C)或－ (D)
6.(2012·汉中模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝2 009，且－＝，则a4＝( )
(A)2 009 (B)2 010 (C)2 011 (D)2 012
7.数列{xn}满足x1＝1， x2＝，且＋＝(n∈N＋，n≥2)，则xn等于( )
(A) (B)()n－1
(C)()n (D)
8.若Sn为等差数列{an}的前n项和，S9＝－36，S13＝－104，则a5与a7的等比中项为( )
(A)4 (B)±2
(C)±4 (D)32
9.(易错题)已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn＝(1－an)，则数列{an}的通项公式为( )
(A)an＝()n＋1 (B)an＝()n
(C)an＝()n－1 (D)an＝3·()n－1
10.某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产n年的产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害.为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线的生产期限是( )
(A)5年 (B)6年 (C)7年 (D)8年
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上)
11.(2012·西安模拟)对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项为2n，则数列{an}的通项公式an＝ .
12.已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，则{bn}的前n项和Sn＝ .
13.(2012·合肥模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，若n≥2时，an是Sn与Sn－1的等差中项，则S5＝ .
14.(2012·唐山模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－1，n∈N＋，数列{(n＋1)an}的前n项和Tn＝ .
15.在数列{an}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N＋，p为常数)，则称{an}为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断：
①若{an}是等方差数列，则{a}是等差数列；
②{(－1)n}(n≥2，n∈N＋)是等方差数列；
③若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N＋，k为常数)也是等方差数列；
④若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数数列.
其中正确命题的序号为 .(将所有正确命题的序号填在横线上)
三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(12分)(2012·宝鸡模拟)已知数列{an}满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝n2(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
17.(12分)在等比数列{an}中，an＞0(n∈N＋)，且a1a3＝4，a3＋1是a2和a4的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝an＋1＋log2an(n＝1,2,3，…)，求数列{bn}的前n项和Sn.
18.(12分)已知正项数列{an}中，a1＝1，点(，an＋1)(n∈N＋)在函数y＝x2＋1的图像上，数列{bn}的前n项和Sn＝2－bn.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝，求{cn}的前n项和Tn.
19.(12分)(探究题)已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意的n∈N＋，点(an，Sn)都在直线2x－y－2＝0上.
(1)求{an}的通项公式；
(2)是否存在等差数列{bn}，使得a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(n－1)·2n＋1＋2对一切n∈N＋都成立？若存在，求出{bn}的通项公式；若不存在，说明理由.
20.(13分)(预测题)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1－3an＝3n(n∈N＋).数列{bn}满足bn＝3－nan.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)设Sn＝＋＋＋…＋，求满足不等式＜＜的所有正整数n的值.
21.(14分)(2011·山东高考)等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nlnan，求数列{bn}的前2n项和S2n.
答案解析
1.【解析】选B.a3＋a13－a8＝2a8－a8＝a8＝2，所以S15＝＝15×2＝30.
2.【解析】选C.设公比为q(q>0)，
∵a2a4＝144，∴aq4＝144，又∵a1＝3，∴q4＝16.
又∵q>0，∴q＝2，∴S5＝＝3(25－1)＝93.
3.【解析】选A.∵{an}是等比数列，∴S5，S10－S5，S15－S10也构成等比数列，记S5＝2k(k≠0)，则S10＝k，可得S10－S5＝－k，进而得S15－S10＝k，于是S15＝k，故S15∶S5＝∶2＝3∶4.
4.【解题指南】∵an－an－1＝－(n≥2，n∈N＋)，∴可采用累加法.
【解析】选A.an－an－1＝－(n≥2)，
a2－a1＝1－，a3－a2＝－，
a4－a3＝－，以上各式两边分别相加，
∴a4－a1＝1－，∴a4＝a1＋＝1＋＝.
5.【解析】选A.由题意知3(a2－a1)＝－4－(－1)＝－3，
∴a2－a1＝－1，
又b＝(－1)×(－4)＝4，且b2＜0，
∴b2＝－2，∴＝.
6.【解析】选D.记数列{an}的公差为d，
∵－＝，
根据等差数列的前n项和公式可得
－＝，
即a2 012－a2 009＝3,3d＝3，∴d＝1，
a4＝2 009＋3＝2 012.
7.【解析】选A.数列{}是首项为1，公差为的等差数列，
∴＝1＋(n－1)＝，
∴xn＝.
8.【解析】选C.∵S9＝＝9a5＝－36，
∴a5＝－4，
∵S13＝＝13a7＝－104，
∴a7＝－8，∴a5·a7＝32，
故a5与a7的等比中项为±4.
【变式备选】在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个数的和是( )
(A) (B) (C) (D)9
【解析】选A.设中间两数为x，y，则x2＝3y,2y＝x＋9，解得或(舍去)，所以x＋y＝.
9.【解析】选B.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(1－an)－(1－an－1)＝－an＋an－1，化简得2an＝－an＋an－1，即＝.又由S1＝a1＝(1－a1)，得a1＝，所以数列{an}是首项为，公比为的等比数列.
所以an＝×()n－1＝()n.
10.【解题指南】令第n年的年产量为an，根据题意先求an，再解不等式an≤150，从而得出答案.
【解析】选C.令第n年的年产量为an，则由题意可知第一年的产量a1＝f(1)＝×1×2×3＝3(吨)；第n(n＝2,3，…)年的产量an＝f(n)－f(n－1)＝n(n＋1)
·(2n＋1)－(n－1)·n·(2n－1)＝3n2(吨).
令3n2≤150，则结合题意可得1≤n≤5.
又n∈N＋，所以1≤n≤7，即生产期限最长为7年.
【变式备选】甲型H1N1流感病毒是寄生在宿主的细胞内的，若该细胞开始时是2个，记为a0＝2，它们按以下规律进行分裂，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，记n(n∈N＋)小时后细胞的个数为an，则an＝ (用n表示).
【解析】按规律，a1＝4－1＝3，a2＝2×3－1＝5，a3＝2×5－1＝9，…，an＋1＝2an－1，∴an＋1－1＝2(an－1)，
即{an－1}是等比数列，其首项为2，公比为2，故an－1＝2n，∴an＝2n＋1.(本题也可由a1＝3＝2＋1，a2＝5＝22＋1，a3＝9＝23＋1，…，猜想出an＝2n＋1.)
答案：2n＋1
11.【解析】由题意知an＋1－an＝2n，
∴an－an－1＝2n－1，
an－1－an－2＝2n－2，
a3－a2＝22，
a2－a1＝21.
∴an－a1＝2＋22＋…＋2n－1，
∴an＝a1＋＝2n.
答案：2n
12.【解析】设等差数列{an}的公差为d，
因为a3＝－6，a6＝0，所以
解得a1＝－10，d＝2，
所以an＝－10＋(n－1)·2＝2n－12.
设等比数列{bn}的公比为q，
因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，
所以－8q＝－24，即q＝3，
所以{bn}的前n项和为Sn＝＝4(1－3n).
答案：4(1－3n)
13.【解析】由题意知n≥2时，2an＝Sn＋Sn－1，
∴2an＋1＝Sn＋1＋Sn，∴2an＋1－2an＝an＋1＋an，
∴an＋1＝3an(n≥2)，
又n＝2时，2a2＝S2＋S1，∴a2＝2a1＝2，
∴数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＝2×3n－2(n≥2)，
∴S5＝81.
答案：81
14.【解析】∵Sn＝2an－1，∴Sn＋1＝2an＋1－1，
∴an＋1＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an.
又∵S1＝2a1－1得a1＝1，∴an＝2n－1，
Tn＝2×20＋3×21＋4×22＋…＋(n＋1)×2n－1，
则2Tn＝2×21＋3×22＋…＋n×2n－1＋(n＋1)×2n，
∴－Tn＝2＋(2＋22＋…＋2n－1)－(n＋1)×2n
＝2＋－(n＋1)×2n＝－n×2n，
∴Tn＝n×2n.
答案：n×2n
15.【解析】由定义可知，{a}是公差为p的等差数列，①正确；因为[(－1)n]2－[(－1)n－1]2＝0(n≥2，n∈N＋)为常数，故{(－1)n}是等方差数列，②正确；若a－a＝p(n≥2，n∈N＋)，则a－a＝(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)＝kp为常数，③正确；设{an}的公差为d，则p＝a－a＝(an－an－1)(an＋an－1)＝d(an＋an－1)，结合p＝d(an＋1＋an)，两式相减可得0＝d(an＋1－an－1)＝2d2d＝0，故{an}是常数数列，④正确.
答案：①②③④
16.【解析】(1)设数列{2n－1an}的前n项和为Tn，
则Tn＝n2.
∴2n－1an＝＝，
可得2n－1an＝2n－1(n∈N*).
∴an＝.
(2)由Sn＝1＋＋＋…＋＋ ①
2Sn＝2＋3＋＋＋…＋ ②
由②－①得，Sn＝2＋2＋＋＋…＋－
＝2＋－＝6－.
17.【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q.由a1a3＝4可得a＝4，因为an＞0，所以a2＝2，
依题意有a2＋a4＝2(a3＋1)，得2a3＝a4＝a3q，
因为a3＞0，所以q＝2，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
(2)bn＝an＋1＋log2an＝2n＋n－1，
可得Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝＋＝2n＋1－2＋.
18.【解析】(1)∵点(，an＋1)(n∈N＋)在函数y＝x2＋1的图像上，∴an＋1＝an＋1，
∴数列{an}是公差为1的等差数列.
∵a1＝1，∴an＝1＋(n－1)＝n，
∵Sn＝2－bn，∴Sn＋1＝2－bn＋1，
两式相减得：bn＋1＝－bn＋1＋bn，即＝，
由S1＝2－b1即b1＝2－b1，得b1＝1.
∴数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列，
∴bn＝()n－1.
(2)log2bn＋1＝log2()n＝－n，
∴cn＝＝－，
∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.
19.【解析】(1)由题意得2an－Sn－2＝0，
当n＝1时，2a1－S1－2＝0得a1＝2，
当n≥2时，由2an－Sn－2＝0 ①得
2an－1－Sn－1－2＝0 ②
①－②得2an－2an－1－an＝0即an＝2an－1，
因为a1＝2，所以＝2，所以{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以an＝2·2n－1＝2n.
(2)假设存在等差数列{bn}，使得a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(n－1)·2n＋1＋2对一切n∈N＋都成立，
则当n＝1时，a1b1＝(1－1)·22＋2得b1＝1，
当n≥2时，由a1b1＋a2b2＋…＋anbn
＝(n－1)·2n＋1＋2 ③得
a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝(n－1－1)·2n＋2 ④
③－④得anbn＝n·2n即bn＝n，
当n＝1时也满足条件，所以bn＝n，
因为{bn}是等差数列，故存在bn＝n(n∈N＋)满足条件.
【方法技巧】构造法求递推数列的通项公式
对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化，构造出等差数列或等比数列.一般根据递推式子的特点采取以下方法：
(1)递推式为an＋1＝qan(q为常数)：作商构造；
(2)递推式为an＋1＝an＋f(n)：累加构造；
(3)递推式为an＋1＝pan＋q(p，q为常数)：待定系数构造；
(4)递推式为an＋1＝pan＋qn(p，q为常数)：辅助数列构造；
(5)递推式为an＋2＝pan＋1＋qan：待定系数构造；
思路：设an＋2＝pan＋1＋qan可以变形为：an＋2－αan＋1＝β(an＋1－αan)，就是an＋2＝(α＋β)an＋1－αβan，则可从解得α，β，于是{an＋1－αan}是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型.
(6)递推式为an＋1＝f(n)an(n∈N＋)：累乘构造；
(7)递推式为an－an－1＋panan－1＝0(p为常数)：倒数构造.
20.【解析】(1)由bn＝3－nan得an＝3nbn，
则an＋1＝3n＋1bn＋1.
代入an＋1－3an＝3n中，得3n＋1bn＋1－3n＋1bn＝3n，
即得bn＋1－bn＝，所以数列{bn}是等差数列.
(2)因为数列{bn}是首项为b1＝3－1a1＝1，公差为的等差数列，则bn＝1＋(n－1)＝，
则an＝3nbn＝(n＋2)×3n－1.
从而有＝3n－1，
故Sn＝＋＋＋…＋＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝＝.
则＝＝，由＜＜.
得＜＜.
即3＜3n＜127，因n∈N＋，则可得1＜n≤4.
故满足不等式＜＜的所有正整数n的值为2,3,4.
21.【解析】(1)由题意知a1＝2，a2＝6，a3＝18，因为{an}是等比数列，所以公比为3，所以数列{an}的通项公式为an＝2·3n－1.
(2)bn＝an＋(－1)nlnan
＝2·3n－1＋(－1)n[ln2＋(n－1)ln3]
＝2·3n－1＋(－1)nln2＋(－1)n(n－1)ln3，
所以S2n＝(2·30＋2·31＋2·32＋…＋2·32n－1)＋[(－1)1＋(－1)2＋…＋(－1)2n]
ln2＋[(－1)1·0＋(－1)2·1＋(－1)3·2＋…＋(－1)2n·(2n－1)]ln3
＝＋(－1＋1－1＋1－…－1＋1)ln2＋[0＋1－2＋3－4＋…－(2n－2)＋(2n－1)]ln3
＝9n－1＋0·ln2＋nln3＝9n－1＋nln3.
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