第十章 第三节 变量间的相关关系与统计案例
一、选择题
1.设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线 (如图)，以下结论正确的是( )
A．x和y的相关系数为直线l的斜率
B．x和y的相关系数在0到1之间
C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
D．直线l过点(，)
2．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：[来源: ]
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好[来源:]
20
30
50
总计
60
50
110
由K2＝算得，
K2＝≈7.8.
附表：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是( )
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
3．一位母亲记录了自己儿子3～9岁的身高数据(略)，由此建立的身高与年龄的回归模型为＝7.19x＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( )
A．身高一定是145.83 cm
B．身高在145.83 cm以上
C．身高在145.83 cm左右
D．身高在145.83 cm以下
4．如图5个(x，y)数据，去掉D(3,10)后，下列说法错误的是( )
A．相关系数r变大
B．残差平方和变大
C．相关指数R2变大
D．解释变量x与预报变量y的相关性变强
5．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( )
A.＝－10x＋200 B.＝10x＋200
C.＝－10x－200 D.＝10x－200
6．下列四个命题正确的是( )
①线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；
②残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；
③用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好；
④随机误差e是衡量预报精确度的一个量，它满足E(e)＝0.
A．①③ B．②④
C．①④ D．②③
二、填空题
7．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.254x＋0.321.由回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
8．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.
9．第二十届世界石油大会将于2011年12月4日～8日在卡塔尔首都多哈举行，能源问题已经成为全球关注的焦点．某工厂经过技术改造后，降低了能源消耗，经统计该厂某种产品的产量x (单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨)有如下几组样本数据：
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
根据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得回归直线的斜率为0.7.已知该产品的年产量为10吨，则该工厂每年大约消耗的汽油为________吨．
三、解答题
10．已知x，y的一组数据如下表：
x
1
3
6
7
8
y
1
2
3
4
5
(1)从x，y中各取一个数，求x＋y≥10的概率；
(2)对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为y＝x＋1与y＝x＋，试利用“最小平方法(也称最小二乘法)”判断哪条直线拟合程度更好．
11．为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析．下面是该生7次考试的成绩.
数学
88
83
117
92
108
100
112
物理
94
91
108
96
104
101
106
(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；
(2)已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．(其中，数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的线性回归方程为＝x＋，＝，＝－)
12．某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主．)
甲(50岁以下)
乙(50岁以上)
1
5 3
8
6 7 8 4
5 3 2
0
2
3
4
5
6
7
8
9
0 1 5 6 7 6
2 3 7 9 6
4 5 2
8
1
5 8
(1)根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯；
(2)根据以上数据完成下列2×2的列联表：
主食蔬菜
主食肉类
合计
50岁以下
50岁以上
合计
(3)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，并写出简要分析．
附：K2＝.
P(K2≥k0)
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
1.323
2.072[来源: ]
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
详解答案
一、选择题
1. 解析：回归直线过样本中心(，)．
答案：D
2．解析：根据独立性检验的思想方法，正确选项为A.
答案：A
3．解析：用回归模型＝7.19x＋73.93，只能作预测，其结果不一定是一个确定值．
答案： C
4．解析：相关系数r越接近1，R2越大，残差平方和越小，拟合效果越好．
答案：B
5．解析：由图象可知，选项B、D为正相关，选项C不符合实际意义，只有A项符合要求．
答案：A
6．解析：线性相关系数r满足|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱，故①错误；③相关指数是度量模型拟合效果的一种指标．相关指数越大，模型拟合效果越好．故②④正确
答案：B
二、填空题
7．解析：以x＋1代x，得＝0.254(x＋1)＋0.321，与＝0.254x＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元．
答案：0.254
8．解析：设父亲身高为x cm，儿子身高为y cm，则
x
173
170
176
y
170
176
182
＝173，＝176，＝＝1，
＝－＝176－1×173＝3，∴＝x＋3，当x＝182时，＝185.
答案：185
9．解析：由题知，＝＝4.5，＝＝3.5，故样本数据的中心点为A(4.5,3.5)．设回归方程为y＝0.7x＋b，将中心点坐标代入得：3.5＝0.7×4.5＋b，解得b＝0.35，故回归方程为y＝0.7x＋0.35，所以当x＝10时，y＝0.7×10＋0.35＝7.35，即该工厂每年大约消耗的汽油为7.35吨．
答案：7.35
三、解答题
10．解：(1)从x，y中各取一个数组成数对(x，y)，共有25对，其中满足x＋y≥10的有(6,4)，(6,5)，(7,3)，(7,4)，(7,5)，(8,2)，(8,3)，(8,4)，(8,5)，共9对．故所求概率P＝.
(2)用y＝x＋1作为拟合直线时，所得y值与y的实际值的差的平方和为S1＝(－1)2＋(2－2)2＋(3－3)2＋(－4)2＋(－5)2＝.
用y＝x＋作为拟合直线时，所得y值与y的实际值的差的平方和为S2＝(1－1)2＋
(2－2)2＋(－3)2＋(4－4)2＋(－5)2＝.
∵S2s，∴该生的物理成绩更稳定．
(2)由于x 与y之间具有线性相关关系，
∴＝＝＝0.5，＝－＝100－0.5×100＝50，
∴线性回归方程为＝0.5x＋50.当y＝115时，x＝130.
建议：
进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，这将有助于物理成绩的进一步提高．
12．解：(1)在30位亲属中，50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主．
(2)2×2的列联表如下：
主食蔬菜
主食肉类
合计
50岁以下
4
8
12
50岁以上
16
2
18
合计
20
10
30
(3)因为K2＝＝＝10>6.635，
所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．
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