第四章 导数及其应用
第23课 变化率与导数、导数的计算
1．（2012深圳二模）曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴在点处的切线的斜率 ．
∴点处的切线的方程是．
2．（2011广州二模）已知，是的导函数，即，，…，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
，，
，…
∴的周期为，．
3．（2012肇庆二模）曲线的切线中，斜率最小的切线方程为 .
【答案】.
【解析】，
当时，；当时，．
∴切线方程为，即．
4．函数图象上点处的切线与直线，，围成的梯形面积等于，则的最大值等于 ，此时点的坐标是 ．
【答案】，
【解析】函数在点处的
切线方程为，
即，
它与轴的交点为，
与的交点为．
∴．
当时，取得最大值为，此时点坐标为．
5．已知函数及上一点，过点作直线.
(1)求使直线和相切且以为切点的直线方程；
(2)求使直线和相切且切点异于的直线方程．
【解析】(1)由，得，
过点且以为切点的直线的斜率，
∴所求的直线方程为.
(2)设过的直线与切于另一点，
则.
又∵直线过，的斜率为
，
∴，
∴，
∴，
∴ (舍去)或，
∴所求直线的斜率为，
∴，即.
6．设函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求的解析式；
(2)曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值.
【解析】(1)∵，∴，
方程，当时，.
∴，解得，∴.
(2)设为曲线上任一点，
由知曲线在点处的切线方程为
，
即.
令，得，
从而得切线与直线的交点坐标为.
令，得，
从而得切线与直线的交点坐标为，
∴点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为
.
故曲线上任一点的切线与直线，所围成的三角形的面积为定值，且此定值为.
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