第十章 圆锥曲线
第63课 椭圆及其标准方程
1．（2012哈尔滨质检）设、分别是椭圆的左、右焦点，是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点的横坐标为（ ）
A．1 B． C． D.
【答案】D
【解析】∵ ，∴ ，，
设，∵，∴ ，
即 ， ∴ ．
又 ∵ ，∴，
解得 ，∵，∴．
∵，∴．
2．（2012莱芜质检）若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上任意一点，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知可得，设，则
，
∵，
∴时，取得最小值．
3．（2012上海闸北质检）椭圆的左、右焦点分别是，，过的直线与椭圆相交于，两点，且，，成等差数列．
（1）求证：；
（2）若直线的斜率为1，且点在椭圆上，求椭圆的方程．
【解析】（1）由题设，得，
由椭圆定义，
∴．
（2）由点在椭圆上，
可设椭圆的方程为，
设，，，
：，
由，得，（*）
则
，
∴， 解得，
∴椭圆的方程为．
4．已知、分别是椭圆的左右两个焦点，为坐标原点，点在椭圆上，线段与轴的交点为线段的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于，求的值．
【解析】（1）∵点为线段的中点，
∴是的中位线，
又，∴，
∴，解得，
∴椭圆的标准方程为．
（2）∵点在椭圆上，、是椭圆的两个焦点，
∴，，
在，由正弦定理，，
∴．
5．（2012北京石景山一模）已知椭圆（）右顶点到右焦点的距离为，短轴长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过左焦点的直线与椭圆分别交于、两点，若线段的长为，求直线的方程．
【解析】（1）由题意得 ，解得．
∴椭圆方程为．
（2）当直线与轴垂直时，，
此时不符合题意故舍掉；
当直线与轴不垂直时，
设直线的方程为：，
由，得 ．
设 ，则 ，
∴ ，
由，
∴直线，或．
6． (2013揭阳联考) 如图，在中，，，以、为焦点的椭圆恰好过的中点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右顶点作直线与圆相交于、两点，试探究点、能将圆分割成弧长比值为的两段弧吗？若能，求出直线的方程；若不能，请说明理由.
【解析】（1）∵，∴
，
∴，∴，
∴，
，
∴ ，∴，
又，∴，
∴椭圆的标准方程为
（2）椭圆的右顶点，圆圆心为，半径.
假设点、能将圆分割成弧长比值为的两段弧，则，
圆心到直线的距离.
当直线斜率不存在时，的方程为，
此时圆心到直线的距离（符合），
当直线斜率存在时，
设的方程为，即，
∴圆心到直线的距离
，无解.
综上：点M、N能将圆分割成弧长比值为
的两段弧，此时方程为.
【点此下载】