第八章 第二节 直线的交点坐标、距离公式与对称问题
一、选择题
1．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值等于 ( )
A．0或－ B.或－6
C．－或 D．0或
2．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是 ( )
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0
3．P点在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则P点坐标为 ( )
A．(1,2) B．(2,1)
C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)
4．直线l1：3x＋4y－7＝0与直线l2：6x＋8y＋1＝0间的距离为 ( )
A. B.
C．4 D．8
5．使三条直线4x＋y＝4，mx＋y＝0,2x－3my＝4不能围成三角形的m值最多有 ( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
6．当直线y＝kx与曲线y＝|x|－|x－2|有3个公共点时，实数k的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0,1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
二、填空题
7．过两直线x＋3y－10＝0和y＝3x的交点，并且与原点距离为1的直线方程为________________．
8．已知实数x、y满足2x＋y＋5＝0，那么的最小值为
9．函数y＝a2x－2(a>0，a≠1)的图象恒过点A，若直线l：mx＋ny－1＝0经过点A，则坐标原点O到直线l的距离的最大值为________．
三、解答题
10．已知直线l经过点P(3,1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段之长为5，求直线l的方程．
11．已知两直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0.
求分别满足下列条件的a，b的值．
(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与l2垂直；
(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．
12．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d，求：
(1)d的变化范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程．
详解答案
一、选择题
1．解析：依题意得＝，∴|3m＋5|＝|m－7|，
∴3m＋5＝m－7或3m＋5＝7－m.
∴m＝－6或m＝.
答案：B
2．解析：由得交点A(1,1)，
且可知所求直线斜率为－.∴方程为x＋2y－3＝0.
答案：D
3．解析：设P(x,5－3x)，
则d＝＝，|4x－6|＝2,4x－6＝±2，
∴x＝1或x＝2，∴P(1,2)或(2，－1)．
答案：C
4．解析：因为直线l2的方程可化为3x＋4y＋＝0.所以直线l1与直线l2的距离为
＝.
答案：B
5．解析：要使三条直线不能围成三角形，只需其中两条直线平行或者三条直线共点即可．
若4x＋y＝4与mx＋y＝0平行，则m＝4；
若4x＋y＝4与2x－3my＝4平行，则m＝－；
若mx＋y＝0与2x－3my＝4平行，则m值不存在；
若4x＋y＝4与mx＋y＝0及2x－3my＝4共点，则m＝－1或m＝.
综上可知，m值最多有4个．
答案：D
6．解析：依题意得，当x<0时，y＝－x＋(x－2)＝－2；当0≤x≤2时，
y＝x＋(x－2)＝2x－2；当x>2时，y＝x－(x－2)＝2.
在直角坐标系中画出该函数的图象(如图)，将x轴绕着原点沿逆时针方向旋转，当旋转到直线恰好经过点(2,2)的过程中，相应的直线(不包括过点(2,2)的直线)与该函数的图象都有三个不同的交点，再进一步旋转，相应的直线与该函数的图象都不再有三个不同的交点，因此满足题意的k的取值范围是(0,1)．
答案：A
二、填空题
7．解析：设所求直线为(x＋3y－10)＋λ(3x－y)＝0，
整理，得(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0.
由点到直线距离公式，得λ＝±3.
∴所求直线为x＝1和4x－3y＋5＝0.
答案：x＝1或4x－3y＋5＝0
8．解析：表示点(x，y)到原点的距离．根据数形结合得的最小值为原点到直线2x＋y＋5＝0的距离，即d＝＝.
答案：
9．解析：法一：由指数函数的性质可得：函数y＝a2x－2(a>2，a≠1)的图象恒过点A(1,1)，而A∈l，
∴m＋n－1＝0，即m＋n＝1，由基本不等式可得：m2＋n2≥(m＋n)2＝.
O到直线l的距离d＝≤＝，∴O到直线l的距离的最大值为.
法二：∵直线l：mx＋ny－1＝0经过点A(1,1)，
∴坐标原点O到直线l的距离的最大值为|OA|＝.
答案：
三、解答题
10．解：法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l1、l2的交点分别为A(3，－4)和B(3，－9)，截得的线段AB的长|AB|＝|－4＋9|＝5.符合题意．
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1.
解方程组 得A(，－)
解方程组 得B(，－)
由|AB|＝5，得(－)2＋(－＋)2＝52.
解之，得k＝0，即所求的直线方程为y＝1.
综上可知，所求l的方程为x＝3或y＝1.
法二：由题意，直线l1、l2之间的距离为d＝＝，且直线l被平行直线l1、l2所截得的线段AB的长为5(如图所示)，设直线l与直线l1的夹角为θ，
则sin θ＝＝，故θ＝45°.
由直线l1：x＋y＋1＝0的倾斜角为135°，知直线l的倾斜角为0°或90°，又由直线l过点P(3,1)，
故直线l的方程为x＝3或y＝1.
11．解：(1)∵l1⊥l2，
∴a(a－1)＋(－b)·1＝0，
即a2－a－b＝0.①
又点(－3，－1)在l1上，
∴－3a＋b＋4＝0②
由①②得a＝2，b＝2.
(2)∵l1∥l2，∴＝1－a，∴b＝.
故l1和l2的方程可分别表示为：
(a－1)x＋y＋＝0，
(a－1)x＋y＋＝0，
又原点到l1与l2的距离相等．
∴4＝，∴a＝2或a＝，
∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
12．解：(1)当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，最大值为d＝|AB|＝＝3，当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0
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