第八章 第九节 圆锥曲线的综合问题
一、选择题
1．设A、B∈R，A≠B，且A·B≠0，则方程Bx－y＋A＝0和方程Ax2－By2＝AB在同一坐标系下的图象大致是 ( )
2．直线y＝x＋1截抛物线y2＝2px所得弦长为2，此时抛物线方程为 ( )
A．y2＝2x B．y2＝6x
C．y2＝－2x或y2＝6x D．以上都不对
3．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1交于不同两点A、B，则|AB|的最大值为 ( )
A．2 B.
C. D.
4．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正方向的夹角为60°，则||为 ( )
A. B.
C.p D.p
5．设离心率为e的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是 ( )
A．k2－e2>1 B．k2－e2<1
C．e2－k2>1 D．e2－k2<1
6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，k1k2≠0，若|k1|＋|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为 ( )
A. B.
C. D.
二、填空题
7．若y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144相切，则实数m的值等于________．
8．已知直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P1、P2两点，线段P1、P2 的中点为P，设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值等于________．
9．过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C.若梯形ABCD的面积为12，则p＝________.
三、解答题
10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其中左焦点F(－2,0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上 ，求m的值．
11．已知拋物线C1：x2＝y，圆C2：x2＋(y－4)2＝1的圆心为点M.
(1)求点M到拋物线C1的准线的距离；
(2)已知点P是拋物线C1上一点(异于原点)．过点P作圆C2的两条切线，交拋物线C1于A，B两点．若过M，P两点的直线l垂直于直线AB，求直线l的方程．
12.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点M(1，)，其离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m(|k|≤)与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA、OB为邻边做平行四边形OAPB，顶点P恰好在椭圆C上，O为坐标原点，求|OP|的取值范围．
详解答案
一、选择题
1．解析：方程Ax2－By2＝AB可变为－＝1.当AB>0时，方程－＝1.表示双曲线，直线Bx－y＋A＝0交x轴于(－，0)，即－<0，故排除C、D选项；当AB<0时，只有B>0，A<0，方程－＝1表示椭圆，直线交x轴于(－，0)，而－>0，故排除A.
答案：B
2．解析：由得x2＋(2－2p)x＋1＝0.
x1＋x2＝2p－2，x1x2＝1.
∴2＝·
＝·.
解得p＝－1或p＝3，
∴抛物线方程为y2＝－2x或y2 ＝6x.
答案：C
3．解析：设直线l的方程为y＝x＋t，代入＋y2＝1消去y得x2＋2tx＋t2－1＝0，由题意得Δ＝(2t)2－5(t2－1)>0，即t2<5.弦长|AB|＝·≤.
答案：C
4．解析：如图，过A作AD⊥x轴于D，
令|FD|＝m，
则|FA|＝2m，|AD|＝m，由抛物线定义知|FA|＝|AB|，即p＋m＝2m，
∴m＝p.
∴||＝
＝p.
答案：B
5．解析：由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率k只需满足－0，∴－20③
设A，B，P点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)、(x0，y0)，
则x0＝x1＋x2＝－，y0＝y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝.
由于点P在椭圆C上，所以＋＝1.
从而＋＝1，化简得4m2＝3＋4k2，经检验满足③式．
又|OP|＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
因为0≤|k|≤，得3≤4k2＋3≤4，有≤≤1，故≤|OP|≤.
综上，所求|OP|的取值范围是.
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