第八章 第七节 抛物线
一、选择题
1．已知抛物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－x2＝2的上焦点，则a等于 ( )
A．1 B．4
C．8 D．16
2．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 ( )
A．－ B．－
C. D.
3．已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ( )
A. B．1
C. D.
4．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．相切 D．不确定
5．已知F为抛物线y2＝8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，则||FA|－|FB||的值等于 ( )
A．4 B．8
C．8 D．16
6．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是 ( )
A．(－2,1) B．(1,2)
C．(2,1) D．(－1,2)
二、填空题
7．以抛物线x2＝16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．
8．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q(－3，m)到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________．
9．已知抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0相交于A、B两点，抛物线的焦点为F，那么| | ＋| | ＝________.
三、解答题
10．根据下列条件求抛物线的标准方程：
(1)抛物线的焦点是双曲线 16x2－9y2＝144的左顶点；
(2)过点P(2，－4)．
11．已知点A(－1,0)，B(1，－1)，抛物线C：y2＝4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M，P两点，直线MB交抛物线C于另一点Q.若向量与的夹角为，求△POM的面积．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B点在直线y＝－3上，M点满足 ∥ ， · ＝ · ，M点的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．
详解答案
一、选择题
1．解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，)，双曲线的上焦点为(0,2)，依题意则有
＝2, 解得a＝8.
答案：C
2．解析：抛物线方程可化为x2＝－，其准线方程为y＝.设M(x0，y0)，则由抛物线的定义，可知－y0＝1?y0＝－.
答案：B
3．解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：(|AF|＋|BF|)－＝－＝.
答案：C
4．解析：设抛物线焦点弦为AB，中点为M，准线l，A1、B1分别为A、B在直线l上的射影，则|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，于是M到l的距离d＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|＝半径，故相切．
答案：C
5．解析：依题意F(2,0)，所以直线方程为y＝x－2由，消去y得x2－12x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||FA|－|FB||＝|(x1＋2)－(x2＋2)|＝|x1－x2|＝＝＝8.
答案：C
6．解析：如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，当且仅当A、P、N三点共线时取等号．∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，则可排除A、C、D.
答案：B
二、填空题
7．解析：抛物线的焦点为F(0,4)，准线为y＝－4，则圆心为(0,4)，半径r＝8.所以，圆的方程为x2＋(y－4)2＝64.
答案：x2＋(y－4)2＝64
8．解析：设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)，
则准线为y＝－.
∵Q(－3，m)在抛物线上，
∴9＝am.
而点Q到焦点的距离等于点Q到准线的距离，
∴|m－(－)|＝5.将m＝代入，
得|＋|＝5，解得，a＝±2，或a＝±18，
∴所求抛物线的方程为x2＝±2y，或x2＝±18y.
答案：x2＝±2y或x2＝±18y
9．解析：由，消去y，得x2－5x＋4＝0(*)，方程(*)的两根为A、B两点的横坐标，故x1＋x2＝5，因为抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，所以| | ＋| | ＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝7
答案：7
三、解答题
10．解：双曲线方程化为－＝1，
左顶点为 (－3,0)，
由题意设抛物线方程为
y2＝－2px(p>0)，则－＝－3，
∴p＝6，∴抛物线方程为y2＝－12x.
(2)由于P(2，－4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y2＝mx或x2＝ny，代入P点坐标求得m＝8，n＝－1，
∴所求抛物线方程为y2＝8x或x2＝－y.
11．解：设点M(，y1)，P(，y2)，
∵P，M，A三点共线，
∴kAM＝kPM，
即＝，
即＝，
∴y1y2＝4.
∴ · ＝·＋y1y2＝5.
∵向量 与 的夹角为，
∴| |·| |·cos＝5.
∴S△POM＝| | ·| | ·sin＝.
12．解：(1)设M(x，y)由已知得B(x，－3)，A(0，－1)．
所以 ＝(－x，－1－y)， ＝(0，－3－y)，
＝(x，－2)．
再由题意可知(＋ )·＝0，即(－x，－4－2y)·(x，－2)＝0.
所以曲线C的方程为y＝x2－2.
(2)设P(x0，y0)为曲线C：y＝x2－2上一点，
因为y′＝x，所以l的斜率为x0.
因此曲线l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，即x0x－2y＋2y0－x＝0.
则O点到l的距离d＝.又y0＝x－2，
所以d＝＝(＋)≥2，
当x0＝0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.
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