第八章 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
一、选择题
1．直线x＋y＝1与圆x2＋y2－2ay＝0(a>0)没有公共点，则a的取值范围是 ( )
A．(0，－1) B．(－1，＋1)
C．(－－1，＋1) D．(0，＋1)
2．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝ ( )
A．4 B．4
C．8 D．8
3．设直线x＋ky－1＝0被圆O：x2＋y2＝2所截弦的中点的轨迹为M，则曲线M与直线x－y－1＝0的位置关系是 ( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．不确定
4．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为 ( )
A．5 B．10
C．15 D．20
5．直线x＋7y－5＝0截圆x2＋y2＝1所得的两段弧长之差的绝对值是( )
A. B.
C．π D.
6．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是 ( )
A．[1－2，1＋2] B．[1－，3]
C．[－1,1＋2] D．[1－2，3]
二、填空题
7．两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q两点，若点P坐标为(1,2)，则点Q的坐标为________．
8．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
9．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为____________．
三、解答题
10．已知点A(1，a)，圆x2＋y2＝4.
(1)若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；
(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为2，求a的值．
11．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点．若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B.
(1)求k的取值范围；
(2)是否存在常数k，使得向量 ＋ 与 共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
详解答案
一、选择题
1．解析：由圆x2＋y2－2ay＝0(a>0)的圆心(0，a)到直线x＋y＝1的距离大于a，且a>0可得a的取值范围．
答案：A
2．解析：依题意，可设圆心坐标为(a，a)、半径为r，其中r＝a>0，因此圆方程是(x－a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4,1)得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|＝×＝8.
答案：C
3．解析：∵直线x＋ky－1＝0过定点N(1,0)，且点N(1,0)在圆x2＋y2＝2的内部，∴直线被圆所截弦的中点的轨迹M是以ON为直径的圆，圆心为P(，0)，半径为，
∵点P(，0)到直线x－y－1＝0的距离为<，
∴曲线M与直线x－y－1＝0相交．
答案：C
4．解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)，半径是，且点E(0,1)位于该圆内，故过点E(0,1)的最短弦长|BD|＝2＝2(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0, 1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|＝2，且AC⊥BD，因此四边形ABCD的面积等于|AC|×|BD|＝×2×2＝10.
答案：B
5．解析：圆心到直线的距离d＝＝.
又∵圆的半径r＝1，
∴直线x＋7y－5＝0截圆x2＋y2＝1的弦长为.
∴劣弧所对的圆心角为.
∴两段弧长之差的绝对值为π－＝π.
答案：C
6．解析：在平面直角坐标系内画出曲线y＝3－与直线y＝x，在平面直角坐标系内平移该直线，结合图形分析可知，当直线沿左上方平移到过点(0,3)的过程中的任何位置相应的直线与曲线y＝3－都有公共点；当直线沿右下方平移到与以点C(2,3)为圆心、2为半径的圆相切的过程中的任何位置相应的直线与曲线y＝3－都有公共点．注意与y＝x平行且过点(0,3)的直线方程是y＝x＋3；当直线y＝x＋b与以点C(2,3)为圆心、2为半径的圆相切时，有＝2，b＝1±2.结合图形可知，满足题意的b的取值范围是[1－2，3]．
答案：D
二、填空题
7．解析：由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别为(－1,1)，(2，－2)，
则过它们圆心的直线方程为＝，
即y＝－x，根据圆的几何性质可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称，故由P(1,2)可得它关于直线y＝－x的对称点即Q点的坐标为(－2，－1)．
答案：(－2，－1)
8．解析：因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，即要圆心到直线的距离小于1，即<1，解得－130)，则圆心到直线x－y－1＝0的距离为.
因为圆截直线所得的弦长为2，根据半弦、半径、弦心距之间的关系有()2＋2＝(a－1)2，即(a－1)2＝4，所以a＝3或a＝－1(舍去)，则半径r＝3－1＝2，圆心坐标为(3,0)．所以圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.
答案：(x－3)2＋y2＝4
三、解答题
10．解：(1)由于过点A的圆的切线只有一条，则点A在圆上，故12＋a2＝4，∴a＝±.
当a＝时，A(1，)，切线方程为x＋y－4＝0；
当a＝－时，A(1，－)，切线方程为x－y－4＝0，
∴a＝时，切线方程为x＋y－4＝0，
a＝－时，切线方程为x－y－4＝0.
(2)设直线方程为 x＋y＝b，
由于直线过点A，∴1＋a＝b，a＝b－1.
又圆心到直线的距离d＝，
∴()2＋()2＝4.
∴b＝±.∴a＝±－1.
11．解：依题意，设l的方程为y＝x＋b①
x2＋y2－2x＋4y－4＝0②
联立①②消去y得：
2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
③
∵以AB为直径的圆过原点，
∴ ⊥ ，即x1 x2＋y1y2＝0，
而y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2
∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，
由③得b2＋4b－4－b(b＋1)＋b2＝0，
即b2＋3b－4＝0，∴b＝1或b＝－4.
∴满足条件的直线l存在，其方程为
x－y＋1＝0或x－y－4＝0.
12．解：(1)圆的方程可化为(x－6)2＋y2＝4，其圆心为Q(6,0)．过点P(0,2)且斜率为k的直线方程为y＝kx＋2.代入圆的方程得x2＋(kx＋2) 2－12x＋32＝0，
整理得(1＋k2)x2＋4(k－3)x＋36＝0.①
直线与圆交于两个不同的点A，B，所以Δ＝[4(k－3)]2－4×36(1＋k2)＝42(－8k2－6k)>0，
解得－
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