(对应学生用书P277 解析为教师用书独有)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)
1．如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与y轴相交，且两个交点在原点两侧，那么 ( )
A．D≠0，F>0 B．E＝0，F>0
C．F<0 D．D＝0，E≠0
解析 C 两个交点在原点两侧，则原点(0,0)在圆内，∴0＋0＋0＋0＋F<0，∴F<0.
2．过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
解析 C AB中垂线方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝(x＋1)2＋(y－1)2，即x＝y，
解得
半径r＝＝2，
∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
3．(2013·广州检测)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝1
解析 A 设圆心坐标为(0，b)，则由题意知＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
4．已知点A是圆C：x2＋y2＋ax＋4y＋30＝0上任意一点，A关于直线x＋2y－1＝0的对称点也在圆C上，则实数a的值 ( )
A．等于10 B．等于－10
C．等于－4 D．不存在
解析 D 依题意，直线x＋2y－1＝0过圆心，
∴－－4－1＝0，∴a＝－10.
又∵x2＋y2＋ax＋4y＋30＝0表示圆C，
∴D2＋E2－4F＝a2＋16－120>0，
解得a2>104，∴a不存在．
5．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为 ( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
解析 D 曲线C的方程可化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a)，半径为2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a>2.
6．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析 A 设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得又因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
7．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)两点，则圆C的方程为________．
解析 ∵圆心在AB的中垂线上，
∴设圆心为(x0，－3)，
∴2x0＋3－7＝0，解得x0＝2，半径r＝＝.
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
【答案】 (x－2)2＋(y＋3)2＝5
8．已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则的最大值为________；最小值为________．
解析 的几何意义表示圆上的动点与(2,1)连线的斜率，所以设＝k，即kx－y＋1－2k＝0，当直线与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝1，解得k＝±.所以的最大值为，最小值为－.
【答案】 －
9．设二次函数y＝x2－x＋1与x轴正半轴的交点分别为A、B，与y轴正半轴的交点是C，则过A、B、C三点的圆的标准方程是________．
解析 已知三个交点分别为A(1,0)、B(3,0)、C(0,1)，易知圆心横坐标为2，则令圆心为E(2，b)，由|EA|＝|EC|得b＝2，半径为，故圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.
【答案】 (x－2)2＋(y－2)2＝5
三、解答题(本大题共3小题，共40分)
10．(12分)圆C通过不同的三点P(k,0)，Q(2,0)，R(0,1)，已知圆C在点P处的切线斜率为1，试求圆C的方程．
解析 设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则k、2为x2＋Dx＋F＝0的两根，
∴k＋2＝－D,2k＝F，即D＝－(k＋2)，F＝2k.
又圆过R(0,1)，故1＋E＋F＝0.∴E＝－2k－1.
故所求圆的方程为
x2＋y2－(k＋2)x－(2k＋1)y＋2k＝0，
圆心坐标为.
∵圆C在点P处的切线斜率为1，
∴kCP＝－1＝，∴k＝－3，
∴D＝1，E＝5，F＝－6.
∴所求圆C的方程为x2＋y2＋x＋5y－6＝0.
11．(12分)已知定点A(0,1)，B(0，－1)，C(1,0)．动点P满足：·＝k||2.求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型．
解析 设动点P(x，y)，则＝(x，y－1)，
＝(x，y＋1)，＝(1－x，－y)，
由·＝k||2得
x2＋(y＋1)(y－1)＝k[(x－1)2＋y2]，
即(1－k)x2＋(1－k)y2＋2kx＝k＋1.
∴当k＝1时，点P轨迹方程为x＝1，
表示过(1,0)，平行于y轴的直线；
当k≠1时，方程化为
x2＋y2＋x＝，
2＋y2＝＋2＝.
∴点P轨迹方程为2＋y2＝，
表示圆心为，半径为的圆．
12．(16分)(2013·北京模拟)已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
解析 (1)设点P的坐标为(x，y)，
则＝2.
化简可得(x－5)2＋y2＝16，此即为所求．
(2)
曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图，由直线l2是此圆的切线，连接CQ，则|QM|＝＝，
当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，
|CQ|＝＝4，
此时|QM|的最小值为＝4.
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