(对应学生用书P271 解析为教师用书独有)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)
1．实轴长为4且过点A(2，－5)的双曲线的标准方程是 ( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 B 依题意，a＝2，排除C、D，由点A在曲线上，排除A，故选B.
2．(2013·宝鸡模拟)双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于
( )
A．－ B．－4
C．4 D.
解析 A 双曲线方程mx2＋y2＝1化为标准形式y2－＝1，则有a2＝1，b2＝－.
∴2a＝2,2b＝2，
∴2×2＝2，∴m＝－.
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 ( )
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析 C 由已知e＝＝，即＝，又c2＝a2＋b2，∴＝，得＝，∴＝±.∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
4．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 A 依题意：∴c＝5，焦点为(±5,0)．由双曲线定义，C2为双曲线，且a＝4，c＝5，b2＝9，故选A.
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点为F1、F2，M为双曲线上一点，以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点为M，且tan ∠MF1F2＝，则双曲线的离心率为 ( )
A. B.
C．2 D.
解析 D 由题意知△MF1F2为直角三角形，tan ∠MF1F2＝，则＝，|MF1|＝2|MF2|，由双曲线的定义可知，|MF1|－|MF2|＝2a，故|MF2|＝2a，|MF1|＝4a，|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2＝20a2，
∴|F1F2|＝2c＝2a，e＝＝.
6．过点(2,0)的直线与双曲线－＝1的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是 ( )
A．k≤－1或k≥1 B．k<－或k>
C．－≤k≤ D．－1或k<－时，直线AB与双曲线右支有两交点．
二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
7．已知双曲线与椭圆＋＝1共焦点，它们的离心率之和为，则此双曲线方程是________．
解析 由椭圆＋＝1得焦点(0，±4)，e1＝，
∴双曲线的离心率e2＝－＝2，
∴＝2，∴a＝2，b2＝12，∴方程为－＝1.
【答案】 －＝1
8．已知双曲线－＝1的右焦点的坐标为(，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．
解析 ∵焦点坐标是(，0)，∴9＋a＝13，即a＝4，∴双曲线方程为－＝1，∴渐近线方程为±＝0，即2x±3y＝0.
【答案】 2x±3y＝0
9.
如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A、B为左、右焦点，且双曲线过C、D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．
解析 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
由题意得B(2,0)，C(2,3)，
∴解得
∴双曲线的标准方程为x2－＝1.
【答案】 x2－＝1
三、解答题(本大题共3小题，共40分)
10．(12分)根据下列条件求双曲线的标准方程．
(1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，且过点M；
(2)与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝.
解析 (1)∵双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，
∴可设双曲线的方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)．
又∵双曲线过点M，∴λ＝4×－9＝72.
∴双曲线方程为4x2－9y2＝72，即－＝1.
(2)方法一(设标准方程)
由椭圆方程可得焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，即c＝5且焦点在x轴上，∴可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，且c＝5.
又e＝＝，∴a＝4，∴b2＝c2－a2＝9.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
方法二(设共焦点双曲线系方程)
∵椭圆的焦点在x轴上，
∴可设双曲线方程为－＝1(24<λ<49)．
又e＝，∴＝－1，解得λ＝33.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
11．(12分)设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．
解析 (1)由题意知a＝2，∴一条渐近线为y＝ x，即bx－2y＝0，∴＝，
∴b2＝3，∴双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，
将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0，
则x1＋x2＝16，y1＋y2＝12，
∴∴
∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．
12．(16分)设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另外一个外切．
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；
(2)已知点M，F(，0)，且P为L上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．
解析 (1)两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心分别为F1(－，0)、F2(，0)，
由题意得R＝|CF1|－2＝|CF2|＋2或R＝|CF2|－2＝|CF1|＋2，
∴||CF1|－|CF2||＝4<2＝|F1F2|，可知圆心C的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，设方程为－＝1(a>0，b>0)，则2a＝4，a＝2，c＝，b2＝c2－a2＝1，b＝1，所以轨迹L的方程为－y2＝1.
(2)∵||MP|－|FP||≤|MF|＝2，当且仅当＝λ(λ>0)时取“＝”，
由kMF＝－2知直线lMF：y＝－2(x－)，联立－y2＝1并整理得15x2－32x＋84＝0，解得x＝或x＝(舍去)，此时P.
所以||MP|－|FP||的最大值为2，此时点P的坐标为.
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