(对应学生用书P269 解析为教师用书独有)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)
1．(2013·郑州模拟)抛物线y2＝4x的焦点F到准线l的距离为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 B 该抛物线的焦点F(1,0)，准线l为：x＝－1.∴焦点F到准线l的距离为2.
2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是 ( )
A．4 B．6
C．8 D．12
解析 B 由抛物线的方程得＝＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.
3．一个正三角形的三个顶点都在抛物线y2＝4x上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积是 ( )
A．48 B．24
C. D.
解析 A
如图，设AB所在的直线方程为y＝x，
由
得B点坐标为(12，4)，
∴S△ABC＝2S△ABD＝2××12×4＝48.
4．从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为 ( )
A．5 B．10
C．20 D.
解析 B 由抛物线方程y2＝4x易得抛物线的准线l的方程为x＝－1，又由|PM|＝5可得点P的横坐标为4，代入y2＝4x，可求得其纵坐标为±4，故S△MPF＝×5×4＝10.
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M、N两点，有下列四个命题：
①△PMN必为直角三角形；
②△PMN不一定为直角三角形；
③直线PM必与抛物线相切；
④直线PM不一定与抛物线相切．
其中正确的命题是 ( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
解析 A 因为PF＝MF＝NF，故∠FPM＝∠FMP，∠FPN＝∠FNP，从而可知∠MPN＝90°，故①正确，②错误；令直线PM的方程为y＝x＋，代入抛物线方程可得y2－2py＋p2＝0，Δ＝0，所以直线PM与抛物线相切，故③正确，④错误．
6．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
解析 B 焦点坐标，准线方程为x＝－.
过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，
联立消去x得y2－2py－p2＝0，
由题意知＝p＝2，∴准线方程为x＝－1.
二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
7．(2013·宿迁模拟)抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则实数a＝________.
解析 抛物线y＝ax2化为标准方程为x2＝y，所以其准线方程为y＝－＝1，解得a＝－.
【答案】 －
8．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A、B两点，若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为________．
解析 由已知易得抛物线的方程为y2＝4x.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1≠x2，y＝4x1，y＝4x2，
∴y－y＝4(x1－x2)，∴＝＝1，
∴直线l的方程为y－2＝x－2，即y＝x.
【答案】 y＝x
9．动点P在抛物线y2＝－6x上运动，定点A(0,1)，线段PA中点的轨迹方程是________．
解析 设P(x′，y′)，PA的中点为Q(x，y)，
则有∵P(x′，y′)在抛物线y2＝－6x上，
∴(2y－1)2＝－12x.
【答案】 (2y－1)2＝－12x
三、解答题(本大题共3小题，共40分)
10．(12分)如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.
(1)求实数b的值；
(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
解析 (1)由
得x2－4x－4b＝0.(*)
因为直线l与抛物线C相切，
所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0.
解得b＝－1.
(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)即为x2－4x＋4＝0.
解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1.故点A(2,1)．
因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2，所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
11．(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
解析 (1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p×1，所以p＝2.
故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，
其准线方程为x＝－1.
(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t.
由得y2＋2y－2t＝0.
∵直线l与抛物线C有公共点，
∴Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.
由直线OA与l的距离d＝，可得＝，解得t＝±1.
∵－1?，1∈，
∴符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.
12．(16分)设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点．
(1)设l的斜率为1，求|AB|的大小；
(2)求证：·是一个定值．
解析 (1)∵F(1,0)，∴直线l的方程为y＝x－1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得
x2－6x＋1＝0，
∴x1＋x2＝6，x1x2＝1.
∴|AB|＝
＝·
＝·＝8.
(2)设直线l的方程为x＝ky＋1，
由得y2－4ky－4＝0.
∴·＝x1x2＋y1y2
＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2
＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2
＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.
∴·是一个定值．
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