第二章 第十一节 变化率与导数、导数的计算
一、选择题
1.已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是( )
A．00，∴a<0.
故实数a的取值范围是(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
三、解答题[来源:]
10．解：(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
(2)法一：y′＝
＝＝.
法二：∵y＝＝1＋，
∴y′＝1′＋()′，即y′＝.
11．解：(1)∵y′＝(－lnx)′＝－(0＜x≤1)，
∴在点M(e－t，t)处的切线l的斜率为－et，
故切线l的方程为y－t＝－et(x－e－t)，
即etx＋y－1－t＝0.
(2)令x＝0，得y＝t＋1；再令y＝0，得x＝.
∴S(t)＝(t＋1)＝(t＋1)2e－t(t≥0)．[来源: ]
从而S′(t)＝e－t(1－t)(1＋t)．
∵当t∈[0,1)时，S′(t)>0；
当t∈(1，＋∞)时，S′(t)<0，
∴S(t)的最大值为S(1)＝.
12．解：(1)设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0－x.
又f′(x)＝3－3x2，∴切线斜率k＝＝3－3x.
即3x0－x－2＝(x0－2)(3－3x)．
∴(x0－1)[(x0－1)2－3]＝0.
解得x0＝1或x0＝1±.
相应的斜率k＝0或k＝－9±6，
∴切线方程为y＝2或y＝(－9±6)(x－2)＋2.
(2)证明：与曲线S切于点(x0，y0)的切线方程可设为
y－y0＝(3－3x)(x－x0)，
与曲线S的方程联立，消去y，[来源: ]
得3x－x3－y0＝3(1－x)·(x－x0)，
即3x－x3－(3x0－x)＝3(1－x)(x－x0)．
即(x－x0)2(x＋2x0)＝0，则x＝x0或x＝－2x0，
因此，与曲线S切于点(x0，y0)(x0≠0)的切线，与S至少有两个交点．
[来源: ]
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