第二章 第四节 函数的奇偶性与周期性
一、选择题
1．若奇函数f(x)＝3sin x＋c的定义域是[a，b]，则a＋b＋c等于( )
A．3 B．－3
C．0 D．无法计算
2．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成
立的是( )
A．|f(x)|－g(x)是奇函数
B．|f(x)|＋g(x)是偶函数[来源: ]
C．f(x)－|g(x)|是奇函数
D．f(x)＋|g(x)|是偶函数
3．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，则f(4)＝( )
A．4 B．2
C．0 D．不确定
4．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝( )
A. B.
C. D．1
5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
6．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，
f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
二、填空题
7．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝________.
8．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________．
9．设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，若f(1)<1，f(2)＝，则a的取值范围是________．
三、解答题
10．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．
11．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
12．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)．
详解答案
一、选择题
1．解析：由于函数f(x)是奇函数，且定义域为[a，b]，所以a＋b＝0，又因为f(0)＝0，
得c＝0，于是a＋b＋c＝0.[来源: ]
答案：C
2．解析：设F(x)＝f(x)＋|g(x)|，由f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，得F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)，∴f(x)＋|g(x)|是偶函数．
答案：D
3．解析：∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0.
∴f(4)＝f(2－2)＝f(0)＝0.
答案：C
4．解析：法一：由已知得f(x)＝定义域关于原点对称，由于该函数定义域为
，知a＝.
法二：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
又f(x)＝，
则＝在函数的定义域内恒成立，∴1－2a＝0，可得a＝.
答案：A[来源:]
5．解析：由题意，f (x)是4为周期的奇函数，
∴f(4)＝f(4＋0)＝f(0)＝0，f(8)＝f(4＋4)＝f(4)＝0.
答案：A
6．解析：由f(x)＝0，x∈[0,2)可得x＝0或x＝1，即在一个周期内，函数的图象与x轴有两个交点，在区间[0,6)上共有6个交点，当x＝6时，也是符合要求的交点，故共有7个不同的交点．
答案：B
二、填空题
7．解析：法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，
∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.
法二：设x>0，则－x<0，∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－2x2－x，∴f(1)＝－2×12－1＝－3.
答案：－3
8．解析：由于f(x)是偶函数，故当x<0时，f(x)＝2－x－4，
当x－2<0时，由f(x－2)＝2－(x－2)－4>0，解得x<0；
当x－2≥0时，由f(x－2)＝2x－2－4>0，解得x>4.
综上可知不等式解集为{x|x<0或x>4}．
答案：{x|x<0，或x>4}
9．解析：∵f(x)是奇函数，∴f(1)＝－f(－1)<1.
∴f(－1)>－1.又∵f(x)的周期为3，∴f(－1)＝f(2)＝>－1.
即>0，解得a>0或a<－1.
答案：(－∞，－1)∪(0，＋∞)
三、解答题
10．解：由f(m)＋f(m－1)>0，
得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．
12．解：(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得
f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.
又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，
∴f(x)＝x2＋2x.
又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，
∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(x)＝f(x－4)
＝(x－4)2＋2(x－4)
＝x2－6x＋8.
从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
(3)f(0)＝0，f(2)＝0，
f(1)＝1，f(3)＝－1.
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋
f(2 011)＋f(2 012)＝0.[来源:]
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝0.
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