第九章 第八节 二项分布及其应用
一、选择题
1．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为
( )
A. B.
C. D.
2．位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为，向右移动的概率为，则质点P移动五次后位于点(1,0)的概率是( )
A. B.
C. D.
3．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )
A. B.
C. D.
4．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝，则P(η≥2)的值为( )
A. B.
C. D.
5．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )
A. B.
C. D.
6．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( )
A. B.
C. D.
二、填空题
7．某篮球运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率为________(用数值作答)．
8．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为________．
9．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
①P(B)＝；
②P(B|A1)＝；
③事件B与事件A1相互独立；
④A1，A2，A3是两两互斥的事件．
三、解答题
10．某种植企业同时培育甲、乙两个品种的杉树幼苗，甲品种杉树幼苗培育成功则每株获利润80元，培育失败，则每株亏损20元；乙品种杉树幼苗培育成功则每株获利润150元，培育失败，则每株亏损50元．统计数据表明：甲品种杉树幼苗培育成功率为90%，乙品种杉树幼苗培育成功率为80%.假设每株幼苗是否培育成功相互独立．
(1)求培育3株甲品种杉树幼苗成功2株的概率；
(2)记X为培育1株甲品种杉树幼苗与1株乙品种杉树幼苗可获得的总利润，求X的分布列．
11．一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片．
(1)从盒中依次抽取两次卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，求两次取到的卡片的数字既不全是奇数，也不全是偶数的概率；
(2)若从盒子中有放回的抽取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到卡片的数字为偶数的概率；
(3)从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当抽到记有奇数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X的分布列和期望．
12．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．
(1)求红队至少两名队员获胜的概率；
(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列．
详解答案
一、选择题
1．解析：问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝×＝.故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝.
答案：A
2．解析：依题意得，质点P移动五次后位于点(1,0)，则这五次移动中必有某两次向左移动，另三次向右移动，因此所求的概率等于C·()2·()3＝.
答案：D
3．解析：P(A)＝＝，P(AB)＝＝.
由条件概率计算公式，得P(B|A)＝＝＝.
答案：B
4．解析：因为随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，又P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)2＝，解得p＝，所以η～B(4，)，则P(η≥2)＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－(1－)4－C(1－)3()＝.
答案：B
5．解析：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，.因此，他们不去北京旅游的概率分别为，，，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P＝1－××＝.
答案：B
6．解析：依题意得某人能够获奖的概率为＝(注：当摸的两个球中有标号为4的球时，此时两球的号码之积是4的倍数，有5种情况；当摸的两个球中有标号均不是4的球时，此时要使两球的号码之积是4的倍数，只有1种情况)，因此所求概率等于C·()3·(1－)＝.
答案：B
二、填空题
7．解析：P＝C()3(1－)7＝.
答案：
8．解析：设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；
事件B：乙实习生加工的零件为一等品，则P(A)＝，P(B)＝，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为：P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×(1－)＋
(1－)×＝.
答案：
9．解析：由题意知P(B)的值是由A1，A2，A3中某一个事件发生所决定的，故①③错误；
∵P(B|A1)＝＝＝，故②正确；
由互斥事件的定义知④正确，故正确结论的编号是②④.
答案：②④
三、解答题
10．解：(1)P＝C×0.92×(1－0.9)＝0.243.
(2)ξ的可能取值为230,130,30，－70.
ξ的分布列为
ξ
230
30
130
－70
P
0.9×0.8
0.9×0.2
0.1×0.8
0.1×0.2
即：
ξ
230
30
130
－70
P
0.72
0.18
0.08
0.02
11．解：(1)因为1,3,5是奇数，2,4是偶数，
设事件A为“两次取到的卡片的数字既不全是奇数，也不全是偶数”
P(A)＝＝或P(A)＝1－＝.
(2)设B表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为偶数”，
由已知，每次取到的卡片上数字为偶数的概率为，
则P(B)＝C·()2·(1－)＝.
(3)依题意，X的可能取值为1,2,3.
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
12．解： (1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则，，分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．
因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，
由对立事件的概率公式知
P()＝0.4，P()＝0.5，P()＝0.5.
红队至少两人获胜的事件有：DE，DF，EF，DEF.
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，
因此红队至少两人获胜的概率为
P＝P(DE)＋P(DF)＋P(EF)＋P(DEF)
＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.
(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.
又由(1)知F、E、D是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，
因此P(ξ＝0)＝P()＝0.4×0.5×0.5＝0.1，
P(ξ＝1)＝P(F)＋P(E)＋P(D)
＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，
P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15.
由对立事件的概率公式得
P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.35
0.4
0.15
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