第九章 第二节 古典概型
一、选择题
1．在2011年深圳世界大学生运动会火炬传递活动中，有编号为1,2, 3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为 ( )
A. B.
C. D.
2．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 ( )
A. B.
C. D.
3．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是 ( )
A. B.
C. D.
4．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( )
A. B.
C. D.
5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，A＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a、b，则满足条件的三角形有两个解的概率是 ( )
A. B.
C. D.
6．从－＝1(其中m，n∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为( )
A. B.
C. D.
二、填空题
7．某商场举行抽奖活动，从装有编号为0,1,2,3的四个小球的抽奖箱中同时取出两个小球，两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖，则中奖的概率为________．
8．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________．
9.在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P，Q，M，N分别是线段OA，OB，OC，OD的中点．在A，P，M，C中任取一点记为E，在B，Q，N，D中任取一点记为F.设G为满足向量＝ ＋ 的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外(不含边界)的概率为__________．
三、解答题
10．已知集合A＝{－2,0,1,3}，在平面直角坐标系中，点M的坐标(x，y)满足x∈A，y∈A.
(1)请列出点M的所有坐标；
(2)求点M不在y轴上的概率；
(3)求点M正好落在区域上的概率．
11．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
12．某班级有数学、自然科学、人文科学三个兴趣小组，各有三名成员，现从三个小组中各选出一人参加一个座谈会．
(1)求数学小组的甲同学没有被选中、自然科学小组的乙同学被选中的概率；[来源: ]
(2)求数学小组的甲同学和自然科学小组的乙同学中至少有一人没有被选中的概率．
详解答案[来源:]
一、选择题
1．解析：从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，
∴选出的火炬手的编号相连的概率为P＝.
答案：A
2．解析：在正六边形中，6个顶点选取4个，共有15种结果．选取的4点能构成矩形只有对边的4个顶点(例如AB与DE)，共有3种，
故所求概率为＝.
答案：D
3．解析：从3个红球、2个白球中任取3个，根据穷举法，可以得到10个基本事件，其中没有白球的取法只有一种，因此所取的3个球中至少有1个白球的概率P＝1－P(没有白球)＝1－＝.
答案：D
4．解析：记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．
记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此P(A)＝＝.
答案：A
5． 解析：要使△ABC有两个解，需满足的条件是，
因为A＝30°，所以，满足此条件的a，b的值有b＝3，a＝2；b＝4，a＝3；b＝5，a＝3；b＝5，a＝4；b＝6，a＝4；b＝6，a＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是＝.[来源:]
答案：A
6．解析：当m＝－1，n＝－1时，表示焦点在y轴上的双曲线；当m＝2，n＝2,3时，表示焦点在x轴上的双曲线；
当m＝3，n＝2,3时，表示焦点在x轴上的双曲线；当m＝2，n＝－1时，表示椭圆；
当m＝3，n＝－1时，表示椭圆．
∴方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为P＝.
答案：B
二、填空题
7．解析：同时取出两个小球的取法有6种：(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,2)，(1,3)，(2,3)．两个小球号码相加之和等于1的取法有1种：(0,1)，两个小球号码相加之和等于2的取法有1种：(0,2)，故所求概率P＝1－＝.
答案：
8．解析：若用{1,2,3,4,5,6}代表6处景点，显然甲、乙两人在最后一个小时游览的景点可能为{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6}，共36种；其中满足题意的“同一景点相遇”包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、…、{6,6}，共6个基本事件，所以所求的概率为.
答案：
9. 解析：基本事件的总数是4×4＝16，在 ＝ ＋ 中，当 ＝ ＋ ， ＝ ＋ ， ＝ ＋ ， ＝＋ 时，点G分别为该平行四边形的各边的中点，此时点G在平行四边形的边界上，而其余情况中的点G都在平行四边形外，故所求的概率是1－＝.
答案：
三、解答题
10．解：(1)∵集合A＝{－2,0,1,3}，点M(x，y)的坐标x∈A，y∈A，
∴M的坐标共有：4×4＝16个，分别是：(－2，－2)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,3)；(0，－2)，(0,0)，(0,1)，(0,3)；(1，－2)，(1,0)，(1,1)，(1,3)；(3，－2)，(3,0)，(3,1)，(3,3)．
(2)点M不在y轴上的坐标共有12种：
(－2，－2)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,3)；(1，－2)，(1,0)，(1,3)；(3，－2)，(3,0)，(3,1)，(3,3)，所以点M不在y轴上的概率是P1＝＝.
(3)点M正好落在区域上的坐标共有3种：(1,1)，(1,3)，(3,1)
故M正好落在该区域上的概率为P2＝.
11．解：(1)甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示．
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：
(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)(C，F)共9种，
从中选出的两名教师性别相同的结果有：(A，D)(B，D)(C，E)(C，F)共4种，选出的两名教师性别相同的概率为P＝.
(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：
(A，B)(A，C)(A，D)(A，E)(A，F)(B，C)(B，D)(B，E)(B，F)(C，D)(C，E)(C，F)(D，E)(D，F)(E，F)共15种，
从中选出两名教师来自同一学校的结果有：
(A，B)(A，C)(B，C)(D，E)(D，F)(E，F)共6种，
选出的两名教师来自同一学校的概率为P＝＝.
12．解：我们把数学小组的三位成员记作S1，S2，S3，自然科学小组的三位成员记作Z1，Z2，Z3，人文科学小组的三位成员记作R1，R2，R3，则有S1的基本事件为(S1，Z1，R1)，(S1，Z1，R2)，(S1，Z1，R3)，(S1，Z2，R1)，(S1，Z2，R2)，(S1，Z2， R3)，(S1，Z3，R1)，(S1，Z3，R2)，(S1，Z3，R3)，然后把这9个基本事件中的S1换成S2，S3，又各得9个基本事件，故基本事件的总数是27个．
用S1表示数学小组中的甲同学，Z1表示自然科学小组中的乙同学．
(1)“数学小组的甲同学没有被选中，自然科学小组的乙同学被选中”的基本事件是上述基本事件中不含S1，含有Z1的基本事件，即(S2，Z1，R1)，(S2，Z1，R2)，(S2，Z1，R3)，(S3，Z1，R1)，(S3，Z1，R2)，(S3，Z1，R3)共6个，故所求的概率为＝.[来源: ]
(2)“数学小组的甲同学和自然科学小组的乙同学中至少有一人没有被选中”的对立事件是“数学小组的甲同学和自然科学小组的乙同学都被选中”，这个对立事件所包含的基本事件为(S1，Z1，R1)，(S1，Z1，R2)，(S1，Z1，R3)，共3个，概率是＝，
根据对立事件的概率计算公式，
得所求的概率是1－＝.[来源: ]
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