第2讲 等差数列及其前n项和
A级 基础演练
(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2012·福建)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为 ( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 在等差数列{an}中，∵a1＋a5＝10.∴2a3＝10，∴a3＝5，又a4＝7，∴所求公差为2.
答案 B
2．(2013·宝鸡中学适应考试)设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＋a3＋a11＝6，那么S9＝ ( )．
A．2 B．8 C．18 D．36
解析 设等差数列的公差为d，则由a1＋a3＋a11＝6，可得3a1＋12d＝6，∴a1＋4d＝2＝a5.∴S9＝＝9a5＝9×2＝18.
答案 C
3．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于( )．
A．－1 B．1 C．3 D．7
解析 两式相减，可得3d＝－6，d＝－2.由已知可得3a3＝105，a3＝35，所以a20＝a3＋17d＝35＋17×(－2)＝1.
答案 B
4．(2012·东北三校一模)在等差数列{an}中，S15>0，S16<0，则使an>0成立的n的最大值为 ( )．
A．6 B．7 C．8 D．9
解析 依题意得S15＝＝15a8>0，即a8>0；S16＝＝8(a1＋a16)＝8(a8＋a9)<0，即a8＋a9<0，a9<－a8<0.因此使an>0成立的n的最大值是8，选C.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2012·江西)设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.
解析 设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.
答案 35
6．(2013·沈阳四校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若－＝1，则公差为________．
解析 依题意得S4＝4a1＋d＝4a1＋6d，S3＝3a1＋d＝3a1＋3d，于是有－＝1，由此解得d＝6，即公差为6.
答案 6
三、解答题(共25分)
7．(12分)在等差数列{an}中，已知a2＋a7＋a12＝12，a2·a7·a12＝28，求数列{an}的通项公式．
解 由a2＋a7＋a12＝12，得a7＝4.
又∵a2·a7·a12＝28，∴(a7－5d)(a7＋5d)·a7＝28，
∴16－25d2＝7，∴d2＝，∴d＝或d＝－.
当d＝时，an＝a7＋(n－7)d＝4＋(n－7)×＝n－；
当d＝－时，an＝a7＋(n－7)d＝4－(n－7)×＝－n＋.
∴数列{an}的通项公式为an＝n－或an＝－n＋.
8．(13分)在等差数列{an}中，公差d＞0，前n项和为Sn，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝(n∈N*)，是否存在一个非零常数c，使数列{bn}也为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)由题设，知{an}是等差数列，且公差d＞0，
则由得
解得∴an＝4n－3(n∈N*)．
(2)由bn＝＝＝，
∵c≠0，∴可令c＝－，得到bn＝2n.
∵bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)，
∴数列{bn}是公差为2的等差数列．
即存在一个非零常数c＝－，使数列{bn}也为等差数列．
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2013·咸阳模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝ ( )．
A．12 B．14 C．16 D．18
解析 Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14.
答案 B
2．(2012·广州一模)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数的个数是 ( )．
A．2 B．3 C．4 D．5
解析 由＝得：＝＝＝，要使为整数，则需＝7＋为整数，所以n＝1,2,3,5,11，共有5个．
答案 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．(2013·九江调研)等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为________．
解析 ∵an＝2n＋1，∴a1＝3，
∴Sn＝＝n2＋2n，∴＝n＋2，
∴是公差为1，首项为3的等差数列，
∴前10项和为3×10＋×1＝75.
答案 75
4．(2012·诸城一中月考)设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．
解析 设等差数列{an}的项数为2n＋1，
S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝＝(n＋1)an＋1，
S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，
∴＝＝，解得n＝3，∴项数2n＋1＝7，S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项．
答案 11 7
三、解答题(共25分)
5．(12分)在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2＋an＝2an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn是数列{|an|}的前n项和，求Sn.
解 (1)由2an＋1＝an＋2＋an可得{an}是等差数列，
且公差d＝＝＝－2.
∴an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋10.
(2)令an≥0，得n≤5.
即当n≤5时，an≥0，n≥6时，an<0.
∴当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝－n2＋9n；
当n≥6时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)
＝－(a1＋a2＋…＋an)＋2(a1＋a2＋…＋a5)
＝－(－n2＋9n)＋2×(－52＋45)
＝n2－9n＋40，
∴Sn＝
6．(13分)(2012·四川)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2an＝S2＋Sn对一切正整数n都成立．
(1)求a1，a2的值；
(2)设a1＞0，数列的前n项和为Tn.当n为何值时，Tn最大？并求出Tn的最大值．
解 (1)取n＝1，得a2a1＝S2＋S1＝2a1＋a2， ①
取n＝2，得a＝2a1＋2a2， ②
由②－①，得a2(a2－a1)＝a2， ③
(i)若a2＝0，由①知a1＝0，
(ii)若a2≠0，由③知a2－a1＝1. ④
由①、④解得，a1＝＋1，a2＝2＋；或a1＝1－，a2＝2－.
综上可得a1＝0，a2＝0；或a1＝＋1，a2＝＋2；或a1＝1－，a2＝2－.
(2)当a1＞0时，由(1)知a1＝＋1，a2＝＋2.
当n≥2时，有(2＋)an＝S2＋Sn，(2＋)an－1＝S2＋Sn－1，
所以(1＋)an＝(2＋)an－1，即an＝an－1(n≥2)，
所以an＝a1()n－1＝(＋1)·()n－1.
令bn＝lg，
则bn＝1－lg()n－1＝1－(n－1)lg 2＝lg，
所以数列{bn}是单调递减的等差数列(公差为－lg 2)，
从而b1＞b2＞…＞b7＝lg＞lg 1＝0，
当n≥8时，bn≤b8＝lg＜lg 1＝0，
故n＝7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为
T7＝＝＝7－lg 2.
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