易失分点清零(七) 数 列
1.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝ ( )．
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
解析 ∵an＋1－an＝ln ，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝ln ＋ln ＋…＋ln ＋ln ＋2＝ln＋2＝2＋ln n，故应选A.
答案 A
2．记数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝3(an－2)，则a2＝ ( )．
A. B．5 C. D.
解析 当n＝1时，有a1＝S1＝3(a1－2)，解得a1＝3；
当n＝2时，有S2＝3(a2－2)，即a1＋a2＝3(a2－2)，
解得a2＝.
答案 C
3．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝ ( )．
A．－11 B．－8 C．5 D．11
解析 设等比数列的首项为a1，公比为q.因为8a2＋a5＝0，所以8a1q＋a1q4＝0.∴q3＋8＝0，∴q＝－2，
∴＝·＝＝＝－11.
答案 A
4．等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前10项之和是 ( )．
A．90 B．100 C．145 D．190
解析 设公差为d(d≠0)，则有a＝a1a5，(1＋d)2＝1＋4d，d2－2d＝0.又d≠0，因此d＝2，{an}的前10项和等于10a1＋×2＝100.
答案 B
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝12，S20＝17，则S30为 ( )．
A．15 B．20 C．25 D．30
解析 由等差数列的性质，知S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，故有2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，整理，得S30＝3S20－3S10＝3×(17－12)＝15.
答案 A
6．已知等差数列{an}满足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n>3)，Sn＝100，则n的值为 ( )．
A．8 B．9 C．10 D．11
解析 根据已知的两个条件列出方程，注意其中Sn－Sn－3＝51(n>3)就是an－2＋an－1＋an＝51，这个结果就是3an－1，由此得an－1＝17，这样a2＋an－1＝a1＋an＝20，利用等差数列的求和公式Sn＝，故100＝，解得n＝10.
答案 C
7．已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q的取值范围是 ( )．
A. B.
C. D.
解析 设三角形的三边分别为a，aq，aq2.①当q≥1时，由a＋aq>aq2，解得1≤q<；②当0a，解得0时，S3＝1＋q＋≥1＋2 ＝3；
当公比q<0时，S3＝1－≤1－2 ＝－1，所以S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
答案 D
9．数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1，n∈N*)，则数列{an}的通项公式是________．
解析 由an＋1＝2Sn＋1，可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，两式相减，得an＋1－an＝2an，an＋1＝3an(n≥2)．
又a2＝2S1＋1＝3，
所以a2＝3a1，故{an}是首项为1，公比为3的等比数列．
所以an＝3n－1.
答案 an＝3n－1
10．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n＝1,2,3，…)，则数列{nan}中数值最小的项是第________项．
解析 当n＝1时，a1＝S1＝－9；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－(n－1)2＋10(n－1)＝2n－11.
可以统一为an＝2n－11(n∈N*)，故nan＝2n2－11n，关于n的二次函数的对称轴是n＝，考虑到n为正整数，且对称轴离n＝3较近，故数列{nan}中数值最小的项是第3项．
答案 3
11．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，则数列的公比q是________．
解析 若q＝1，则有S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，但a1≠0，即得S3＋S6≠2S9，与题设矛盾，故q≠1.又依题意S3＋S6＝2S9?＋＝2·?q3(2q6－q3－1)＝0，即(2q3＋1)(q3－1)＝0，因为q≠1，所以q3－1≠0，则2q3＋1＝0，解得q＝－.
答案 －
12．若两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且满足＝，则＝________.
解析 ＝＝＝＝＝.
答案
13．已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n＝1,2,3，….
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和Sn.
(1)证明 因为an＋1＝，
所以＝＝＋·.
所以－1＝.
又a1＝，所以－1＝.
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
(2)解 由(1)，知－1＝·＝，
即＝＋1，所以＝＋n.
设Tn＝＋＋＋…＋， ①
则Tn＝＋＋…＋＋， ②
由①－②，得
Tn＝＋＋…＋－＝－＝1－－，
所以Tn＝2－－＝2－.
又1＋2＋3＋…＋n＝，
所以数列的前n项和Sn＝2－＋＝－.
14．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝，且[3＋(－1)n]an＋2＝2an－2[(－1)n－1](n＝1,2,3，…)．
(1)求a3，a4，a5，a6的值及数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝a2n－1·a2n，记数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<3.
(1)解 分别令n＝1,2,3,4，可求得
a3＝3，a4＝，a5＝5，a6＝.
当n为奇数时，不妨设n＝2m－1，m∈N*，
则a2m＋1－a2m－1＝2，所以{a2m－1}为等差数列．
所以a2m－1＝1＋(m－1)·2＝2m－1，即an＝n.
当n为偶数时，设n＝2m，m∈N*，则a2m＋2＝a2m，
所以{a2m}为等比数列，a2m＝·m－1＝.
故an＝.
综上所述，an＝
(2)证明 bn＝a2n－1·a2n＝(2n－1)·，
所以Tn＝1×＋3×＋5×＋…＋(2n－1)·，
所以Tn＝1×＋3×＋…＋(2n－3)·＋(2n－1)·.
两式相减，得
Tn＝＋2－(2n－1)·
＝＋2·－(2n－1)·
＝－，
所以Tn＝3－.故Tn<3.
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