第六章 第六节 直接证明与间接证明
一、选择题
1．若函数F(x)＝f(x)＋f(－x)与G(x)＝f(x)－f(－x)，其中f(x)的定义域为R，且f(x)不恒为零，则 ( )
A．F(x)、G(x)均为偶函数
B．F(x)为奇函数，G(x)为偶函数
C．F(x)与G(x)均为奇函数
D．F(x)为偶函数，G(x)为奇函数
2．设S是至少含有两个元素的集合．在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)．若对任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是 ( )
A．(a*b)*a＝a
B．[a*(b*a)]*(a*b)＝a
C．b*(b*b)＝b
D．(a*b)*[b*(a*b)]＝b
3．函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小关系是 ( )
A．f(2.5)f(1)>f(3.5)
C．f(3.5)>f(2.5)>f(1)
D．f(1)>f(3.5)>f(2.5)
4．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则( )
A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形
D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形
5．不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数 ( )
A．成等比数列而非等差数列
B．成等差数列而非等比数列
C．既成等差数列又成等比数列
D．既非等差数列又非等比数列
6．已知△ABC的顶点A(x，y)，B(－1,0)，C(1,0)，若△ABC满足的条件分别是：(1)△ABC的周长是6；(2)∠A＝90°；(3)kAB·kAC＝1；(4)kAB－kAC＝－2.下面给出了点A的轨迹方程：(a)x2＋y2＝1(y≠0)；(b)x2－y2＝1(y≠0)；
(c)＋＝1(y≠0)；(d)y＝x2－1(y≠0)．
其中与条件(1)(2)(3)(4)分别对应的轨迹方程的代码依次是 ( )
A．(a)(b)(c)(d) B．(c)(a)(d)(b)
C．(d)(a)(b)(c) D．(c)(a)(b)(d)
二、填空题
7．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，求证：|f(x1)－f(x2)|<.那么他的反设应该是________．
8．设Sn＝＋＋＋…＋(n∈N*)，且Sn＋1·Sn＋2＝，则n的值是________．
9．定义一种运算“*”对于正整数满足以下运算性质：(1)2] .
三、解答题
10．在锐角三角形中，求证：sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C.
11．用反证法证明：若a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，则a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
12．已知{an}是正数组成的数列，a1＝1，且点(，an＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1＝bn＋2an，
求证：bn·bn＋2f(1)>f(3.5)．
答案：B
4．解析：由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形．
由，
得.
那么A2＋B2＋C2＝，这与三角形内角和为180°相矛盾．
所以假设不成立，所以△A2B2C2是钝角三角形．
答案：D
5．解析：由已知条件，可得
由②③得代入①，得＋＝2b，
即x2＋y2＝2b2.
故x2，b2，y2成等差数列．
答案：B
6．解析：由△ABC的周长是6，|BC|＝2，可知点A在以B, C为焦点的椭圆上，y≠0，与(c)相对应；由∠A＝90°，可知点A在以BC为直径的圆x2＋y2＝1上，y≠0；由kAB·kAC＝1，化简得x2－y2＝1(y≠0)；显然(4)与(d)相对应．
答案：D
二、填空题
7．答案：“?x1，x2∈[0,1]，使得|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|则|f(x1)－f(x2)|≥”
8．解析：由＝－得
到Sn＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝，Sn＋1·Sn＋2＝·＝＝，解得n＝5.
答案：5
9．解析：由(2n＋2)*2 006＝3·[(2n)*2 006]得＝3，所以数列{ (2n)* 2 006}是首项为1，公比为3的等比数列，故2 012]答案：31 005
三、解答题
10．证明：∵在锐角三角形中，A＋B>，
∴A>－B.
∴0<－Bsin(－B)＝cos B.
即sin A>cos B，同理sin B>cos C，sin C>cos A.
∴sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C.
11．证明：假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1，
∵ad－bc＝1，
∴a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd－ad＋bc＝0.
即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0.
∴必有a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0.
可得a＝b＝c＝d＝0.
与ad－bc＝1矛盾，
∴a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
12．解：(1)由已知得an＋1＝an＋1，则an＋1－an＝1，又a1＝1，所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．故an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)由(1)知，an＝n，从而bn＋1－bn＝2n.
bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1
＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.
因为bn·bn＋2－b＝(2n－1)(2n＋2－1)－(2n＋1－1)2
＝(22n＋2－2n＋2－2n＋1)－(22n＋2－2·2n＋1＋1)
＝－2n<0，
所以bn·bn＋2
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