第六章 第四节 基本不等式
一、选择题
1．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则9x＋3y的最小值为 ( )
A．2 B．4
C．12 D．6
2．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是 ( )
A. B．4
C. D．5
3．函数y＝log2x＋logx(2x)的值域是 ( )
A．(－∞，－1] B．[3，＋∞)
C．[－1,3] D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
4．已知x>0，y>0，z>0，x－y＋2z＝0，则的 ( )
A．最小值为8 B．最大值为8
C．最小值为 D．最大值为
5．设a， b，c都是正实数，且a，b满足＋＝1，则使a＋b≥c恒成立的c的范围是( )
A．(0,8] B．(0,10]
C．(0,12] D．(0,16]
6．设a>0，b>0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于 ( )
A．0 B．4
C．－4 D．－2
二、填空题[来源: ]
7．设x，y∈R，且xy≠0，则(x2＋)(＋4y2)·的最小值为________．
8．在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数?(x)＝的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是____．
9．已知二次函数f(x)＝ax2－x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则＋的最小值为________．
三、解答题
10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，
求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．
11．已知a>0， b>0，c>0，d>0.求证：＋≥4.
12．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体形状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．求：
(1)仓库面积S的最大允许值是多少？[来源: ]
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
详解答案
一、选择题[来源: ]
1．解析：由a⊥b得a·b＝0，即(x－1,2)·(4，y)＝0.
∴2x＋y＝2.
则9x＋3y＝32x＋3y≥2＝2＝2＝6.[来源: ]
当且仅当32x＝3y即x＝，y＝1时取得等号．
答案：D
2．解析：依题意得＋＝(＋)(a＋b)＝[5＋(＋)]≥(5＋2)＝，当且仅当，即a＝，b＝时取等号，即＋的最小值是.
答案：C
3．解析：y＝log2x＋logx(2x)＝1＋(log2x＋logx2)．
如果x>1，则log2x＋logx2≥2，
如果00，
∴＋＝(＋8a)＋(＋4a2)≥2×4＋2＝10，
当且仅当，即a＝时取等号．故所求的最小值为10.
答案：10
三、解答题
10．解：(1)∵x>0，y>0，
∴xy＝2x＋8y≥2
即xy≥8，∴ ≥8，
即xy≥64.
当且仅当2x＝8y
即x＝16，y＝4时，“＝”成立．
∴xy的最小值为64.
(2)∵x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，
∴2x＋8y＝xy，即＋＝1.
∴x＋y＝(x＋y)·(＋)＝10＋＋≥10＋2＝18
当且仅当＝，即x＝2y＝12时“＝”成立．
∴x＋y的最小值为18.
11．证明：＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)≥2＋2＝4(当且仅当a＝b，c＝d时，取“＝”)，故＋≥4.
12．解：设铁栅长为x米，一侧砖墙长为y米，则顶部面积为S＝xy.由题意，知40x＋2×45y＋20xy＝3 200，由基本不等式，得
3 200≥2 ＋20xy＝120＋20xy
＝120＋20S，
∴S＋6－160≤0，即(－10)(＋16)≤0，
故≤10，从而S≤100.
(1)所以S的最大允许值是100平方米．
(2)S取得最大值100的条件是40x＝90y，且xy＝100，求得x＝15，即铁栅的长是15米．
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