第3讲 基本不等式
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2013·宁波模拟)若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为 ( )．
A. B．1 C．2 D．4
解析 ∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥2，即ab≤.当且仅当a＝1，b＝时等号成立．
答案 A
2．函数y＝(x>1)的最小值是 ( )．
A．2＋2 B．2－2
C．2 D．2
解析 ∵x>1，∴x－1>0，
∴y＝＝
＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时取等号．
答案 A
3．(2012·陕西)小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a＝0，∴v>a.
答案 A
4．(2013·咸阳模拟)设a>b>c>0，则2a2＋＋－10ac＋25c2的最小值是
( )．
A．2 B．4 C．2 D．5
解析 2a2＋＋－10ac＋25c2
＝2a2＋－10ac＋25c2
＝2a2＋－10ac＋25c2
≥2a2＋－10ac＋25c2(b＝a－b时取“＝”)
＝2a2＋－10ac＋25c2＝＋(a－5c)2≥4
，故选B.
答案 B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2011·浙江)设x，y为实数．若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．
解析 依题意有(2x＋y)2＝1＋3xy＝1＋×2x×y≤1＋·2，得(2x＋y)2≤1，即|2x＋y|≤.当且仅当2x＝y＝时，2x＋y取最大值.
答案
6．(2013·北京朝阳期末)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
解析 每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．
答案 5 8
三、解答题(共25分)
7．(12分)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，
求：(1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值．
解 ∵x＞0，y＞0,2x＋8y－xy＝0，
(1)xy＝2x＋8y≥2，∴≥8，∴xy≥64.
故xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y＝xy，得：＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)
＝10＋＋≥10＋8＝18.
故x＋y的最小值为18.
8．(13分)已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.
(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；
(2)求＋的最小值．
解 (1)∵x>0，y>0，
∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.
∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．
因此有解得
此时xy有最大值10.
∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.
∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.
(2)∵x>0，y>0，∴＋＝·＝
≥＝，当且仅当＝时，等号成立．
由解得
∴＋的最小值为.
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是 ( )．
A．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
C．(－2,4) D．(－4,2)
解析 ∵x>0，y>0且＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋
≥4＋2 ＝8，当且仅当＝，
即x＝4，y＝2时取等号，
∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，
只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，
即8>m2＋2m，解得－40)，l1与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，的最小值为 ( )．
A．16 B．8 C．8 D．4
解析 如图，作出y＝|log2x|的图象，由图可知A，C点的横坐标在区间(0,1)内，B，D点的横坐标在区间(1，＋∞)内，而且xC－xA与xB－xD同号，所以＝，根据已知|log2xA|＝m，即－log2xA＝m，所以xA＝2－m.同理可得xC＝2－，xB＝2m，xD＝2，所以＝＝＝＝2＋m，由于＋m＝＋－≥4－＝，当且仅当＝，即2m＋1＝4，即m＝时等号成立，故的最小值为2＝8.
答案 B
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．
解析 由a，b∈R＋，由基本不等式得a＋b≥2，
则ab＝a＋b＋3≥2＋3，
即ab－2－3≥0?(－3)(＋1)≥0? ≥3，
∴ab≥9.
答案 [9，＋∞)
4．已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝的最小值为________。
解析 z＝＝xy＋＋＋＝xy＋＋＝＋xy－2，令t＝xy，则00)．
(1)求f(x)的最大值；
(2)证明：对任意实数a，b，恒有f(a)
【点此下载】