(对应学生用书P293 解析为教师用书独有)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)
1．棱长为2的正四面体的表面积是 ( )
A. B．4
C．4 D．16
解析 C 每个面的面积为×2×2×＝.
∴正四面体的表面积为4.
2．长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为 ( )
A.π B．56π
C．14π D．64π
解析 C 设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，则解得，令球的半径为R，则(2R)2＝22＋12＋32，解得R2＝，∴S球＝4πR2＝14π.
3．(2013·西安模拟)一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为 ( )
A. B.
C．1 D.
解析 A 由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，V＝××(2＋1)×1×1＝.
4．如图，一个简单组合体的正视图和侧视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形，俯视图是一个半径为的圆(包括圆心)．则该组合体的表面积等于 ( )
A．15π B．18π
C．21π D．24π
解析 C 由题意可知，该组合体的下面为圆柱体，上面为圆锥体，由相应几何体的面积计算公式得，该组合体的表面积为：S＝πr2＋2πrh＋πrl＝π()2＋2π××2＋π××2＝21π.
5．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是 ( )
A. B.
C. D.
解析 A V＝V大圆锥－V小圆锥＝πr2(1＋1.5－1)＝，故选A.
6．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为 ( )
A.π B.π
C.π D.π
解析 C 由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，则V球＝π×3＝.
二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
7.
如图所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为________．
解析 三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，三棱锥A－B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝.
【答案】
8．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为____________________．
解析 该几何体的直观图如图．
∴S表＝2(2×8＋8×10＋2×10)＋2(8×6＋8×2)＝360.
【答案】 360
9．若某个多面体的三视图如图所示，那么该几何体的体积为________．
解析 由三视图可知几何体为三棱锥，底面边长为2，由正视图可知其一侧面与底面垂直，且此侧面也是边长为2的等边三角形，故三棱锥的高为，因此其体积V＝××22×＝1.
【答案】 1
三、解答题(本大题共3小题，共40分)
10．(12分)如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；
(2)求这个几何体的表面积及体积．
解析 (1)这个几何体的直观图如图所示．
(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直棱柱B1C1QA1DP的组合体．
由PA1＝PD1＝，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.
故所求几何体的表面积
S＝5×22＋2×2×＋2××()2＝22＋4(cm2)，
所求几何体的体积V＝23＋×()2×2＝10(cm3)．
11．(12分)(2013·阳泉月考)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S.
解析
由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6，高为h2的等腰三角形，如图所示．
(1)几何体的体积为：V＝·S矩形·h＝×6×8×4＝64.
(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h1＝＝5.左、右侧面的底边上的高为：h2＝＝4.
故几何体的侧面面积为：
S＝2×＝40＋24.
12．(16分)如图所示，正三角形ABC的边长为4，D、E、F分别为各边中点，M、N、P分别为BE、DE、EF的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥．
(1)求折成三棱锥后∠MNP等于多少度？
(2)擦去线段EM、EN、EP后剩下的几何体是什么？其侧面积为多少？
解析 (1)由题意，折成了三棱锥以后，如图所示，△MNP为正三角形，故∠MNP＝60°.
(2)擦去线段EM、EN、EP后，所得几何体为棱台，其侧面积为：
S侧＝SE-ADF侧－SE-MNP侧＝3××22－3××12＝.
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