(对应学生用书P285 解析为教师用书独有)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)
1．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是 ( )
A.＝2－－
B.＝＋＋
C.＋＋＝0
D.＋＋＋＝0
解析 C ＋＋＝0，即＝－(＋)，
所以M与A、B、C共面．
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：①(－)－；②(＋)－；
③(－)－2；④(＋)＋.
其中能够化简为向量的是 ( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析 A ①(－)－＝－＝1；②(＋)－＝－＝；③(－)－2＝－2≠；④(＋)＋＝＋＝≠，故选A.
3．已知向量a＝(1，－1,1)，b＝(－1,2,1)，且ka－b与a－3b互相垂直，则k的值是 ( )
A．1 B.
C. D．－
解析 D ∵ka－b＝(k＋1，－k－2，k－1)，a－3b＝(4，－7，－2)，(ka－b)⊥(a－3b)，∴4(k＋1)－7(－k－2)－2(k－1)＝0，∴k＝－.
4．若a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，a·(b＋c)的值为
( )
A．4 B．15
C．7 D．3
解析 D ∵b＋c＝(2,2,5)，∴a·(b＋c)＝(2，－3,1)·(2,2,5)＝3.
5．已知四边形ABCD满足：·>0，·>0，·>0，·>0，则该四边形为 ( )
A．平行四边形 B．梯形
C．长方形 D．空间四边形
解析 D 由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边形的外角和是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形．
6．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为 ( )
A. B.
C. D.
解析 A ＝＋＝＋×(＋)＝＋[(－)＋(－)]＝(＋＋)，由OG＝3GG1知，＝＝(＋＋)，∴(x，y，z)＝.
二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
7．已知向量a＝(－1,2,3)，b＝(1,1,1)，则向量a在b方向上的投影为________．
解析 向量a在b方向上的投影为：
|a|·cosa，b＝×＝.
【答案】
8．已知G是△ABC的重心，O是空间与G不重合的任一点，若＋＋＝λ，则λ＝________.
解析 因为＋＝，＋＝，＋＝，且＋＋＝0，所以＋＋＝3.
【答案】 3
9．如果三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(a,3，b＋2)共线，那么a－b＝________.
解析 ＝(1，－1,3)，＝(a－2，－1，b＋1)，若使A、B、C三点共线，须满足＝λ，即(a－2，－1，b＋1)＝λ(1，－1,3)，所以解得a＝3，b＝2，所以a－b＝1.
【答案】 1
三、解答题(本大题共3小题，共40分)
10．(12分)证明三个向量a＝－e1＋3e2＋2e3，b＝4e1－6e2＋2e3，c＝－3e1＋12e2＋11e3共面．
解析 设a＝xb＋yc，
由已知条件
解得x＝－，y＝，
即a＝－b＋c.
故a，b，c三个向量共面．
11．(12分)已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S；
(2)若向量a分别与向量，垂直，且|a|＝，求向量a的坐标．
解析 (1)∵＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，
∴cos ∠BAC＝＝＝，
∴∠BAC＝60°，
∴S＝||||sin 60°＝7.
(2)设a＝(x，y，z)，则a⊥?－2x－y＋3z＝0，
a⊥?x－3y＋2z＝0，|a|＝?x2＋y2＋z2＝3，
解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，
∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．
12．(16分)(2013·咸阳模拟)
如图所示，已知在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.
(1)求AC′的长；
(2)求与的夹角的余弦值．
解析 (1)∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2
＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)
＝42＋32＋52＋2×(0＋10＋7.5)＝85.
∴||＝，即AC′的长为.
(2)方法一：设与的夹角为θ，
∵ABCD是矩形，∴||＝＝5.
∴由余弦定理可得
cos θ＝＝＝.
方法二：设＝a，＝b，＝c，
依题意得·＝(a＋b＋c)·(a＋b)
＝a2＋2a·b＋b2＋a·c＋b·c
＝16＋0＋9＋4·5·cos 60°＋3·5·cos 60°
＝16＋9＋10＋＝，
∴cos〈，〉＝＝＝.
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