第三章 第三节 三角函数的图象与性质
一、选择题
1．函数y＝sin x＋cos x的最小值和最小正周期分别是( )[来源: ]
A．－，2π B．－2,2π[来源:]
C．－，π D．－2，π
2．函数y＝sin x||(00)在区间[－，]上的最小值是－2，则ω的最小值为
( )
A. B.
C．2 D．3
6．设函数f(x)＝sin(2x＋)＋cos(2x＋)，则( )
A．y＝f(x)在(0，)单调递增，其图象关于直线x＝对称
B．y＝f(x)在(0，)单调递增，其图象关于直线x＝对称
C．y＝f(x)在(0，)单调递减，其图象关于直线x＝对称
D．y＝f(x)在(0，)单调递减，其图象关于直线x＝对称
二、填空题
7．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(， 0)中心对称，那么|φ|的最小值为________．
8．设函数y＝sin(x＋)，若对任意x∈R，存在x1，x2使f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，则|x1－x2|的最小值是________．
9．设函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈(－，))的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论：①图象关于点(，0)对称；②图象关于点(，0)对称；③在[0，]上是增函数；④在[－，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为________．
三、解答题
10．已知函数f(x)＝4cos xsin(x＋)－1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．
11．设a＝(sin2，cos x＋sin x)，b＝(4sin x，cos x－sin x)，f(x)＝a·b.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知常数ω>0，若y＝f(ωx)在区间[－，]上是增函数，求ω的取值范围；
12．已知a＝(5cos x，cos x)，b＝(sin x,2cos x)，函数f(x)＝a·b＋|b|2.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单调减区间；
(3)当≤x≤时，求函数f(x)的值域．
[来源: .Com]
详解答案：
1．解析：∵y＝sin(x＋)，∴当x＋＝2kπ－(k∈Z)时，ymin＝－.T＝2π.
答案：A
2．解析：y＝sin x||＝
答案：B[来源:]
3．解析：|MN|＝|sin a－cos A|＝|sin(a－)|，
∴|MN|max＝.
答案：B
4．解析：画出函数y＝sin x的草图分析知b－a的取值范围为[，]．
答案：A
5．解析：∵f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间[－，]上的最小值为－2
∴≤，即≤，∴ω≥，即ω的最小值为.
答案：B
6．解析：因为y＝sin(2x＋)＋cos(2x＋)＝sin(2x＋)＝cos 2x，所以y＝cos 2x在(0，)单调递减，对称轴为2x＝kπ，即x＝(k∈Z)．
答案：D
7．解析：由题意知，2×＋φ＝kπ＋，k∈Z.
解得φ＝kπ－，k∈Z.当k＝2时，|φ|min＝.[来源: ]
答案：
8．解析：由f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，可得f(x1)为最小值，f(x2)为最大值，|x1－x2|的最小值为半个周期．
答案：2
9．解析：∵T＝π，∴ω＝2.
又2×＋φ＝kπ＋，∴φ＝kπ＋.
∵φ∈(－，)，∴φ＝，∴y＝sin(2x＋)．
由图象及性质可知②④正确．
答案：②④
10．解：(1)因为f(x)＝4cos xsin(x＋)－1
＝4cos x(sin x＋cos x)－1
＝sin 2x＋2cos2x－1
＝sin 2x＋cos 2x
＝2sin(2x＋)，
所以f(x)的最小正周期为π.
(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤.
于是，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1.
11．解：(1)f(x)＝sin2·4sin x＋(cos x＋sin x)·(cos x－sin x)
＝4sin x·＋cos2x
＝2sin x(1＋sin x)＋1－2sin2x＝2sin x＋1，
∴f(x)＝2sin x＋1.
(2)∵f(ωx)＝2sin ωx＋1，ω>0.
由2kπ－≤ωx≤2kπ＋，
得f(ωx)的增区间是[－，＋]，k∈Z.
∵f(ωx)在[－，]上是增函数，
∴[－，]?[－，]．
∴－≥－且≤，
∴ω∈(0，]．
12．解： f(x)＝a·b＋|b|2
＝5cos x·sin x＋cos x·2cos x＋sin2x＋4cos2x
＝5sin xcos x＋sin2x＋6cos2x
＝sin2x＋＋3(1＋cos2x)
＝sin2x＋cos2x＋
＝5sin(2x＋)＋
(1)f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴f(x)的单调减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
(3)∵≤x≤，
∴≤2x＋≤.
∴－≤sin(2x＋)≤1.
∴1≤f(x)≤
即f(x)的值域为[1，]．
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