第三章 第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
一、选择题
1．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝sin(2x－) B．y＝sin(2x－)
C．y＝sin(x－) D．y＝sin(x－)
2．已知f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)的图象与y＝－1的图象的相邻两交点间的距离为π，要得到y＝f(x)的图象，只需把y＝cos 2x的图象( )
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
3．设函数f(x)＝cos ωx(ω>0)，将y＝f(x)的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )
A. B．3
C．6 D．9
4.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的一段图像如图所示，则过点P(ω，φ)，且斜率为A的直线方程是( )
A．y－＝(x－2)
B．y－＝(x－4)
C．y－＝2(x－4)
D．y－＝2(x－2)
5．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则( )
A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数
B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数
C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数
D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数
6.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h(ω>0,0<φ<)的图象如图所示，则f(x)＝( )
A．4sin(＋)＋2
B．－4sin(－)＋2
C．2sin(＋)＋4
D．－2sin(＋)＋4
二、填空题
7.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．
8．若f(x)＝2sinωx(0<ω<1)在区间[0，]上的最大值为，则ω＝________.
9．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ＜π)的图象如图所示，则φ＝________.
三、解答题
10．已知函数f(x)＝Asin(3x＋φ)(A>0，x∈(－∞，＋∞)，(0<φ<π)在x＝时取得最大值4.
(1)求f(x)的解析式．
(2)若f(α＋)＝，求sin a.
11.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图像如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝f(x)－cos2x，求函数g(x)在区间[0，]上的最大值和最小值．
12．已知函数f(x)＝2acos2x＋bsin xcos x－，且f(0)＝，f()＝.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的单调递减区间；
(3)函数f(x)的图象经过怎样的平移才能使所得图象对应的函数成为奇函数？
详解答案：
1．解析：将y＝sin x的图象向右平移个单位得到y＝sin(x－)的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin(x－)的图像．
答案：C
2．解析：由已知条件知y＝f(x)的最小正周期为π，故ω＝2，
∴f(x)＝sin(2x＋)＝cos[－(2x＋)]＝cos(2x－)，∴把y＝cos 2x的图象向右平移个单位可得到y＝f(x)的图像．
答案：A
3．解析：将y＝f(x)的图像向右平移个单位长度后得到的图像与原图像重合，则＝k，k∈Z，得ω＝6k，k∈Z，
又ω>0，则ω的最小值等于6.
答案：C
4．解析：由＝－(－)＝，得T＝，则ω＝＝4，由4×(－)＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，又0<φ<π，所以φ＝，把(0，)代入y＝Asin(4x＋)中，得A＝2，故所求直线方程为y－＝2(x－4)．
答案：C
5．解析：∵＝6π，∴ω＝.又∵×＋φ＝2kπ＋，k∈Z且－π<φ≤π，
∴当k＝0时，φ＝，f(x)＝2sin(x＋)，要使f(x)递增，须有2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，解之得6kπ－≤x≤6kπ＋，k∈Z，当k＝0时，－π≤x≤，
∴f(x)在[－π，]上递增．
答案：A
6．解析：由题中的图象可知，A＝＝2，h＝4，函数f(x)的周期为4[－(－)]＝4π，所以ω＝，点(，6)相当于五点作图法的第二个点，所以×＋φ＝，所以φ＝，根据以上分析结合函数的图象特征可知函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(＋)＋4.
答案：C
7．解析：由图象可得A＝，周期为4×(－)＝π，所以ω＝2，将(，－)代入得2×＋φ＝2kπ＋π，即φ＝2kπ＋，
所以f(0)＝sin φ＝sin＝.
答案：
8．解析：∵0<ω<1，x∈[0，]，∴ωx∈[0，][0，]，
∴f(x)max＝2sin＝，∴sin＝，∴＝，
∴ω＝.
答案：
9．解析：由题图可知，＝2π－π，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝，∴y＝sin(x＋φ)．
又∵sin(×π＋φ)＝－1，
即sin(π＋φ)＝－1，∴π＋φ＝π＋2kπ，k∈Z.
又∵－π≤φ<π，∴φ＝π.
答案：π
10．解：(1)由题设可知A＝4且sin(3×＋φ)＝1，
则φ＋＝＋2kπ，得φ＝＋2kπ(k∈Z)
∵0<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝4sin(3x＋)．
(2)∵f(α＋)＝4sin(2α＋)
＝4cos 2α＝，
∴cos 2α＝.
∴sin2α＝(1－cos 2α)＝.
∴sin α＝±.
11．解析：(1)由题图知A＝1，＝－＝，
∴ω＝＝2.又x＝时，f(x)＝1
∴sin(2×＋φ)＝1又|φ|<，
∴φ＝.
∴f(x)的解析式为f(x)＝sin(2x＋)．
(2)g(x)＝f(x)－cos 2x＝sin(2x＋)－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x＝sin(2x－)
由0≤x≤得－≤2x－≤.
∴2x－＝即x＝时g(x)有最大值1.
当2x－＝－即x＝0时g(x)有最小值－.
12．解：(1)由f(0)＝，得2a－＝，
∴2a＝，则a＝，由f()＝，得＋－＝，∴b＝1.
∴f(x)＝cos2x＋sin xcos x－
＝cos 2x＋sin 2x＝sin(2x＋)，
∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由＋2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，得
＋kπ≤x≤π＋kπ，
∴f(x)的单调递减区间是[＋kπ，π＋kπ](k∈Z)．
(3)∵f(x)＝sin2(x＋)，
∴奇函数y＝sin2x的图象左移，即得到f(x)的图象．故函数f(x)的图象右移个单位后对应的函数成为奇函数．
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