4.3 三角函数的图像与性质
一、选择题
1．函数f(x)＝2sin xcos x是( )．
A．最小正周期为2 π的奇函数
B．最小正周期为2 π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
解析 f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x.∴f(x)是最小正周期为π的奇函数．
答案 C
2. 已知ω>0，，直线和是函数f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=( )
A. B. C. D.
解析 因为和是函数图像中相邻的对称轴，所以，即
答案 A
3．函数f(x)＝(1＋tan x)cos x的最小正周期为( )．
A．2π B. C．π D.
解析 依题意，得f(x)＝cos x＋sin x＝2sin.故最小正周期为2π.
答案 A
4．函数y＝sin在区间上( )
A．单调递增且有最大值
B．单调递增但无最大值
C．单调递减且有最大值
D．单调递减但无最大值
解析 由－≤x－≤，得－≤x≤，
则函数y＝sin在区间上是增函数，
又?，所以函数在上是增函数，且有最大值，故选A.
答案 A
5．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是( )．
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上是增函数
C．函数f(x)的图像关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
解析 ∵y＝sin＝－cos x，∴T＝2π，在上是增函数，图像关于y轴对称，为偶函数．
答案 D
6．函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为( )．
A．[－1,1] B.
C. D.
解析 (数形结合法)y＝sin2x＋sin x－1，令sin x＝t，则有y＝t2＋t－1，t∈[－1,1]，画出函数图像如图所示，从图像可以看出，当t＝－及t＝1时，函数取最值，代入y＝t2＋t－1可得y∈.
答案 C
【点评】 本题采用换元法转化为关于新元的二次函数问题，再用数形结合来解决，但换元后注意新元的范围.
7．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则( )
A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数
B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数
C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数
D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数
解析：∵f(x)的最小正周期为6π，∴ω＝，
∵当x＝时，f(x)有最大值，
∴×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，φ＝＋2kπ，
∵－π＜φ≤π，∴φ＝.
∴f(x)＝2sin ，由此函数图像易得，在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均没单调性，在区间[4π，6π]上是单调增函数．
答案：A
二、填空题
8．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sin x，则f的值为________．
解析：f＝f＝f＝sin＝.
答案：
9．已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)是偶函数，则θ的值为________．
解析 (回顾检验法)据已知可得f(x)＝2sin，若函数为偶函数，则必有θ＋＝kπ＋(k∈Z)，又由于θ∈，故有θ＋＝，解得θ＝，经代入检验符合题意．
答案
【点评】 本题根据条件直接求出θ的值，应将θ再代入已知函数式检验一下.
10．函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
解析 (构造法)根据分子和分母同次的特点，把分子展开，得到部分分式，f(x)＝1＋，f(x)－1为奇函数，则m－1＝－(M－1)，所以M＋m＝2.
答案 2
【点评】 整体思考，联想奇函数，利用其对称性简化求解，这是整体观念与构造思维的一种应用.注意到分式类函数的结构特征，借助分式类函数最值的处理方法，部分分式法，变形发现辅助函数为奇函数，整体处理最大值和最小值的问题以使问题简单化，这种构造特殊函数模型的方法来源于对函数性质应用的深刻理解.
11．关于函数f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos；
③y＝f(x)的图像关于点对称；
④y＝f(x)的图像关于直线x＝－对称．
其中正确命题的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上)．
解析 函数f(x)＝4sin的最小正周期T＝π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是＝知①错．
利用诱导公式得f(x)＝4cos＝
4cos＝4cos，知②正确．
由于曲线f(x)与x轴的每个交点都是它的对称中心，将x＝－代入得f(x)＝4sin＝4sin 0＝0，
因此点是f(x)图像的一个对称中心，故命题③正确．曲线f(x)的对称轴必经过图像的最高点或最低点，且与y轴平行，而x＝－时y＝0，点不是最高点也不是最低点，故直线x＝－不是图像的对称轴，因此命题④不正确．
答案 ②③
12．给出下列命题：
①正切函数的图像的对称中心是唯一的；
②y＝|sinx|，y＝|tanx|的最小正周期分别为π，；
③若x1>x2，则sinx1>sinx2；
④若f(x)是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f＝0.
其中正确命题的序号是________．
解析 ①正切函数的对称中心是(k∈Z)；②y＝|sinx|，y＝|tanx|的最小正周期都是π；③正弦函数在定义域R上不是单调函数；④f＝f＝f＝－f，故f＝0.
答案 ④
三、解答题
13. 已知函数f(x)＝2sinxcosx－2sin2x＋1.
(1)求函数f(x)的最小正周期及值域；
(2)求f(x)的单调递增区间．
解析 (1)f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin，
则函数f(x)的最小正周期是π，
函数f(x)的值域是.
(2)依题意得2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
则kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
即f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
14．已知f(x)＝sin x＋sin.
(1)若α∈[0，π]，且sin 2α＝，求f(α)的值；
(2)若x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．
解析 (1)由题设知，f(α)＝sin α＋cos α.
∵sin 2α＝＝2sin α·cos α＞0，α∈[0，π]，
∴α∈，sin α＋cos α＞0.
由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝，
得sin α＋cos α＝，∴f(α)＝.
(2)f(x)＝sin，又0≤x≤π，
∴f(x)的单调递增区间为.
15．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)图像的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．
解析 (1)令2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝kπ＋，k∈Z，
又－π＜φ＜0，则－＜k＜－，k∈Z，
∴k＝－1，则φ＝－.
(2)由(1)得：f(x)＝sin，
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
因此y＝f(x)的单调增区间为，k∈Z.
16．已知a＞0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.
(1)求常数a，b的值；
(2)设g(x)＝f且lg g(x)＞0，求g(x)的单调区间．
解析 (1)∵x∈，∴2x＋∈.
∴sin∈，
∴－2asin∈[－2a，a]．
∴f(x)∈[b,3a＋b]，
又∵－5≤f(x)≤1，
∴b＝－5,3a＋b＝1，
因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)得a＝2，b＝－5，
∴f(x)＝－4sin－1，
g(x)＝f＝－4sin－1
＝4sin－1，
又由lg g(x)＞0得g(x)＞1，
∴4sin－1＞1，
∴sin＞，
∴2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z，
其中当2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递增，
即kπ＜x≤kπ＋，k∈Z，
∴g(x)的单调增区间为，k∈Z.
又∵当2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递减，
即kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z.
∴g(x)的单调减区间为，k∈Z.
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