第五章 第五节 数列的综合问题
一、选择题
1．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足关系式Sn＝(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( )
A．5、6月 B．6、7月
C．7、8月 D．8、9月
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a100＋a101，且A、B、C三点共线(该直线不过点O)，则S200等于( )
A．100 B．101
C．200 D．201
3．在数列{an}中，对任意n∈N*，都有＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判断：
①k不可能为0；
②等差数列一定是等差比数列；
③等比数列一定是等差比数列；
④通项公式为an＝a·bn＋c(a≠0，b≠0,1)的数列一定是等差比数列．
其中正确的判断为( )
4．已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为( )
A．－110 B．－90
C．90 D．110
5．已知x＞1，y＞1，且lnx，，lny成等比数列，则xy( )
A．有最大值e B．有最小值e
C．有最大值 D．有最小值
6．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于( )
A．24 B．32
C．48 D．64
二、填空题
7．若数列{an}满足－＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为调和数列．记数列{}为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝________.
8．设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________．
9．已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)成立．数列{an}满足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2.则数列的通项公式为an＝________.
三、解答题
10．已知函数f(x)＝ax的图象过点(1，)，且点(n－1，)(n∈N*)在函数f(x)＝ax的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝an＋1－an，若数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn<5.
11．某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.
(1)求第n年初M的价值an的表达式；
(2)设An＝，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新．证明：须在第9年初对M更新．
12．设各项均为正数的等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a3＋a5＝40.设bn＝log2an.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)若c1＝1，cn＋1＝cn＋，求证：cn＜3；
(3)是否存在正整数k，使得＋＋…＋＞对任意正整数n均成立？若存在，求出k的最大值，若不存在，说明理由．
详解答案
一、选择题
1．解析：由Sn解出an＝(－n2＋15n－9)，再解不等式(－n2＋15n－9)>1.5，得6
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