(对应学生用书P319 解析为教师用书独有)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)
1．已知数列1，，，，…，，…，则3是它的 ( )
A．第22项 B.第23项
C．第24项 D.第28项
解析 B 3＝＝.
2．在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于 ( )
A．－ B.
C．－ D.
解析 B ∵an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，a1＝，
∴a2＝，a3＝－，a4＝－，a5＝.
3．如果数列{an}的前n项和Sn＝an－3，那么这个数列的通项公式为( )
A．an＝2(n2＋n＋1) B.an＝3×2n
C．an＝3n＋1 D.an＝2×3n
解析 D 当n＝1时，a1＝a1－3，∴a1＝6；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－3－an－1＋3，
∴an＝3an－1，
∴数列{an}是首项为6，公比为3的等比数列，an＝6×3n－1＝2×3n.
4．对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的 ( )
A．必要不充分条件 B.充分不必要条件
C．充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 B 当an＋1>|an|(n＝1,2，…)时，∵|an|≥an，∴an＋1>an，∴{an}为递增数列．当{an}为递增数列时，若该数列为－2,0,1，则a2>|a1|不成立，即知：an＋1>|an|(n＝1,2，…)不一定成立．故综上知，“an＋1>|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．
5．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a20等于 ( )
A．0 B.－
C. D.
解析 B ∵a1＝0，an＋1＝，
∴a2＝－，a3＝，a4＝0，…，
∴数列{an}的最小正周期为3，
∴a20＝a3×6＋2＝a2＝－.
6．(2013·成都模拟)把1,3,6,10,15这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)．则第七个三角形数是 ( )
A．27 B.28
C．29 D.30
解析 B 观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可．根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.
二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
7．已知数列{an}对于任意p，q∈N*，有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝，则a36＝________.
解析 ∵ap＋aq＝ap＋q，∴an－1＋a1＝an(n≥2)，
即an－an－1＝a1＝(n≥2)，
∴{an}是首项为a1＝，公差为的等差数列．
∴an＝a1＋(n－1)＝.∴a36＝4.
【答案】 4
8．(2013·武汉模拟)数列，，，，…中，有序数对(a，b)可以是________．
解析 根号里的数比分母大2，可得
解得
【答案】
9．根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有________个点．
解析 观察图中5个图形，点的个数分别为1,1×2＋1，2×3＋1,3×4＋1,4×5＋1，故第n个图中点的个数为(n－1)×n＋1＝n2－n＋1.
【答案】 n2－n＋1
三、解答题(本大题共3小题，共40分)
10．(12分)已知数列{an}的递推公式为an＋2＝3an＋1－2an，且a1＝1，a2＝3.
(1)求a5；
(2)127是这个数列的第几项？
解析 (1)a3＝3a2－2a1＝7，a4＝3a3－2a2＝15，
a5＝3a4－2a3＝31.
(2)方法一：∵an＋2＝3an＋1－2an，
∴an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，∴＝2，
∴数列{an＋1－an}是首项为a2－a1＝2，公比为2的等比数列，∴an＋1－an＝2n，
∴a2－a1＝2，
a3－a2＝22，
……
an－an－1＝2n－1(n≥2)．
以上各式相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1
＝＝2n－2(n≥2)，
∴an＝2n－1(n≥2)，
令2n－1＝127，∴2n＝128，∴n＝7.
方法二：由(1)归纳出an＝2n－1，
令2n－1＝127，解得n＝7.
11．(12分)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
解析 (1)由n2－5n＋4<0，解得1
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