第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2012·福建)下列命题中，真命题是 ( )．
A．存在x0∈R，ex0≤0
B．任意x∈R，2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．a>1，b>1是ab>1的充分条件
解析 因为任意x∈R，ex>0，故排除A；取x＝2，则22＝22，故排除B；a＋b＝0，取a＝b＝0，则不能推出＝－1，故排除C.应选D.
答案 D
2．(2013·新余模拟)命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )．
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
解析 否命题既否定题设又否定结论，故选B.
答案 B
3．(2012·重庆)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0，1]上的增函数”是“f(x)为[3，4]上的减函数”的 ( )．
A．既不充分也不必要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．充要条件
解析 ∵x∈[0，1]时，f(x)是增函数，又∵y＝f(x)是偶函数，∴x∈[－1，0]时，f(x)是减函数．当x∈[3，4]时，x－4∈[－1，0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)．∴x∈[3，4]时，f(x)是减函数，充分性成立．反之：x∈[3，4]时，f(x)是减函数，x－4∈[－1，0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)，∴x∈[－1，0]时，f(x)是减函数，∵y＝f(x)是偶函数，∴x∈[0，1]时，f(x)是增函数，必要性亦成立．
答案 D
4．方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是 ( )．
A．02”是“<”的充分不必要条件；
④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．
其中说法不正确的序号是________．
解析 ①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③<，则－＝<0，解得x<0或x>2，所以“x>2”是“<”的充分不必要条件，③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确．
答案 ①②
三、解答题(共25分)
7．(12分)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
(1)若ab＝0，则a＝0或b＝0；
(2)若x2＋y2＝0，则x，y全为零．
解 (1)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，真命题．
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题．
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题．
(2)逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．
否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，真命题．
逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．
8．(13分)已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－a2≤0(a>0)．若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解 p：x2－8x－20≤0?－2≤x≤10，
q：x2－2x＋1－a2≤0?1－a≤x≤1＋a.
∵p?q，q?/ p，
∴{x|－2≤x≤10}{x|1－a≤x≤1＋a}．
故有且两个等号不同时成立，解得a≥9.
因此，所求实数a的取值范围是[9，＋∞)．
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2013·皖南八校模拟)“m＝”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的 ( )．
A．充分必要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析 由两直线垂直的充要条件知(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0，解得m＝－2或，∴m＝时，两直线垂直，反过来不成立．
答案 B
2．(2012·潍坊二模)下列说法中正确的是 ( )．
A．命题“若am21”是“x>2”的充分不必要条件
解析 A中命题的逆命题是“若a1”是“x>2”的必要不充分条件．故选C.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．(2012·长沙模拟)若方程x2－mx＋2m＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是________．
解析 方程x2－mx＋2m＝0对应的二次函数f(x)＝x2－mx＋2m，∵方程x2－mx＋2m＝0有两根，其中一根大于3一根小于3，∴f(3)<0，解得m>9，即：方程x2－mx＋2m＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是m>9.
答案 m>9
4．已知集合A＝，B＝{x|－13，即m>2.
答案 (2，＋∞)
三、解答题(共25分)
5．(12分)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明 充分性：若a＋b＋c＝0，∴b＝－a－c，
∴ax2＋bx＋c＝0化为ax2－(a＋c)x＋c＝0，
∴(ax－c)(x－1)＝0，
∴当x＝1时，ax2＋bx＋c＝0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
必要性：若方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，∴a＋b＋c＝0.
综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
6．(13分)已知全集U＝R，非空集合A＝，B＝.
(1)当a＝时，求(?UB)∩A；
(2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝时，
A＝＝，
B＝＝，
∴?UB＝.
∴(?UB)∩A＝.
(2)∵a2＋2>a，∴B＝{x|a2，即a>时，A＝{x|2
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