高考数学（理）一轮：一课双测A+B精练(二十六) 平面向量的概念及其线性运算
1．下列等式：①0a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0a；⑤a－b＝a＋(－b)．正确的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
2．(2012·福州模拟)若a＋b＋c＝0，则a，b，c( )
A．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形
B．一定不可能构成三角形
C．都是非零向量时能构成三角形
D．一定可构成三角形
3．(2012·威海质检)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若＋2＝3，则的值为( )
A. B.
C. D.
4．(2012·海淀期末)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点(靠近B)，那么＝( )
A.－ B. ＋
C. ＋ D. －
5．(2013·揭阳模拟)已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
6．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足＋＋＝，则点P与△ABC的关系为( )
A．P在△ABC内部
B．P在△ABC外部
C．P在AB边所在直线上
D．P是AC边的一个三等分点
7．(2012·郑州五校联考)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则|AM―→|＝________.
8．(2013·大庆模拟)已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式＋＝＋，则四边形ABCD的形状为________．
9．设向量e1，e2不共线，＝3(e1＋e2)，＝e2－e1，＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为________．
10．设i，j分别是平面直角坐标系Ox，Oy正方向上的单位向量，且＝－2i＋mj，＝n i＋j，＝5i－j，若点A，B，C在同一条直线上，且m＝2n，求实数m，n的值．
11.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，AC―→＝b.
(1)用a，b表示向量，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
12．设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1－8e2，
＝e1＋3e2，＝2e1－e2.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．
1.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则的值为( )
A．3 B.
C．2 D.
2．(2012·吉林四平质检)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为( )
A. B.
C. D.
3．已知O，A，B三点不共线，且＝m＋n，(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
[答 题 栏]
A级
1._________ 2._________ 3._________ 4._________ 5.__________ 6._________
B级
1.______ 2.______
7. __________ 8. __________ 9. __________
答 案
高考数学（理）一轮：一课双测A+B精练(二十五)
A级
1．选C a＋(－a)＝0，故③错．
2．选A 当a，b，c为非零向量且不共线时可构成三角形，而当a，b，c为非零向量共线时不能构成三角形．
3．选A 由＋2＝3，得－＝2－2，即＝2，所以＝.
4．选D 在△CEF中，有＝＋，因为点E为DC的中点，所以＝.因为点F为BC的一个三等分点，所以＝.所以＝＋＝＋＝－.
5．选A 由＋＋＝0得＋＝，由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，故A＝30°.
6．选D ∵＋＋＝，
∴＋＋＝－，∴＝－2＝2，
∴P是AC边的一个三等分点．
7．解析：由|＋|＝|－|可知，⊥，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，||＝||＝2.
答案：2
8．解析：∵＋＝＋∴－＝－
∴＝.∴四边形ABCD为平行四边形．
答案：平行四边形
9．解析：由＝－＝4e1＋2e2＝2，且与不共线，可得A，C，D共线，且B不在此直线上．
答案：④
10．解：＝－＝(n＋2)i＋(1－m)j，
＝－＝(5－n)i－2j.
∵点A，B，C在同一条直线上，
∴∥，即＝λ.
∴(n＋2)i＋(1－m)j＝λ[(5－n)i－2j]．
∴解得或
11．解：(1)延长AD到G，
使＝，
连接BG，CG，得到?ABGC，
所以＝a＋b，
＝＝(a＋b)，
＝＝(a＋b)，
＝＝b，
＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，
＝－＝b－a＝(b－2a)．
(2)证明：由(1)可知＝，又因为
，有公共点B，
所以B，E，F三点共线．
12．解：(1)证明：由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2
∵＝2e1－8e2，∴＝2，
又∵AB与BD有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)由(1)可知＝e1－4e2，且＝3e1－ke2，
∵B，D，F三点共线，得＝λ，
即3e1－ke2＝λe1－4λe2，
得解得k＝12，
∴k＝12.
B级
1．选B (特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底面BC的直线，易得＝.
2.选C 设AB的中点为D，
由5＝＋3，
得3－3＝2－2，
即3＝2，如图所示，
故C，M，D三点共线，且＝，也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为，则△ABM与△ABC的面积比为.
3．证明：(1)∵m，n∈R，且m＋n＝1，
∴＝m＋n＝m＋(1－m) ，
∴－＝m(－)．
∴＝m，而≠0，且m∈R.
∴与共线，
又，有公共点B.
∴A，P，B三点共线．
(2)∵A，P，B三点共线，∴与共线，∴存在实数λ，使＝λ，
∴－＝λ(－)．
∴＝λ＋(1－λ) .
又∵＝m＋n，
∴m＋n＝λ＋(1－λ) .
又∵O，A，B不共线，∴，不共线．
由平面向量基本定理得
∴m＋n＝1.
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