1.4 第3课时 正弦余弦函数的性质习题课
一、选择题
1．角α的终边过点P(－1,2)，则sinα＝( )
A. B.
C．－ D．－
[答案] B
[解析] 由三角函数的定义知，x＝－1，y＝2，r＝＝，∴sinα＝＝.
2．(2010·江西文，6)函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为( )
A．[－1,1] B．[－，－1]
C．[－，1] D．[－1，]
[答案] C
[解析] 通过sinx＝t换元转化为t的一元二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t＝sinx∈[－1,1]，y＝t2＋t－1＝2－，(－1≤t≤1)，显然－≤y≤1，选C.
3．(2010·金华十校)M、N是曲线y＝πsinx与曲线y＝πcosx的两个不同的交点，则|MN|的最小值为( )
A．π B.π
C.π D．2π
[答案] C
[解析] 其中与原点最近的两交点M，N，∴|MN|＝π.
4．函数y＝sin|x|的图象是( )
[答案] B
[解析] y＝sin|x|为偶函数，排除A；y＝sin|x|的值有正有负，排除C；当x＝时，y>0，排除D，故选B.
5．(2010·南充市)已知函数f(x)＝πsinx，如果存在实数x1，x1，使x∈R时，f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，则|x1－x2|的最小值为( )
A．4π B．π
C．8π D．2π
[答案] A
[解析] ∵正弦型函数f(x)满足对任意x∈R，f(x1)≤f(x)≤f(x2)，故f(x1)为f(x)的最小值，f(x2)为f(x)的最大值，从而|x1－x2|的最小值为半周期，
∵T＝＝8π，∴选A.
6．(2010·衡水市高考模拟)设a＝logtan70°，b＝logsin25°，c＝logcos25°，则它们的大小关系为( )
A．acos25°>sin25°>0，logx为减函数，∴asinα B．cos2αtanα D．cot2α0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________.
[答案]
[解析] ∵f＝f，＝，
∴f(x)的图象关于直线x＝对称．
又∵f(x)在上有最小值，无最大值，
∴x＝时，f(x)取最小值，∴ω·＋＝，
∴ω＝.
14．函数y＝2cos在上的最大值与最小值的和为________．
[答案] 2－
[解析] ∵－≤x≤，
∴－≤2x＋≤，
∴－≤cos≤1，∴－≤y≤2.
三、解答题
15．比较下列各组数的大小．
(1)sin194°与cos160°；(2)cos，sin，－cos；
(3)sin与sin.
[解析] (1)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，
cos160°＝cos(90°＋70°)＝－sin70°.
∵0°<14°<70°<90°，函数y＝sinx在(0°，90°)内是增函数，
∴sin14°－sin70°，
∴sin194°>cos160°.
(2)sin＝cos，－cos＝cos，
∵0<π－<－<<π，函数y＝cosx在(0，π)上是减函数，
∴cos>cos>cos，
即－cos>sin>cos.
(3)cos＝cos＝sin.
∵0<<<，函数y＝sinx在内是增函数，
∴00，则，
解得，
若a<0，则，
解得，
综上可知，a＝12－6，b＝－23＋12，或a＝－12＋6，b＝19－12.
17．已知函数f(x)＝log|sinx|.
(1)求其定义域和值域；
(2)判断其奇偶性；
(3)求其周期；
(4)写出单调区间．
[解析] (1)由|sinx|>0得sinx≠0，∴x≠kπ(k∈Z)．
即函数定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
又0<|sinx|≤1，∴log|sinx|≥0.
∴函数的值域为[0，＋∞)．
(2)∵f(x)的定义域关于原点对称，
且f(－x)＝log|sin(－x)|＝log|－sinx|
＝log|sinx|＝f(x)．
∴f(x)为偶函数．
(3)函数f(x)是周期函数，
∵f(x＋π)＝log|sin(x＋π)|＝log|－sinx|
＝log|sinx|＝f(x)，
∴f(x)的周期T＝π.
(4)∵y＝logu在(0，＋∞)上是减函数，
u＝|sinx|在(k∈Z)上是增函数，
在(k∈Z)上是减函数．
∴f(x)在(k∈Z)上是增函数，
在(k∈Z)上是减函数．
即f(x)的单调增区间是(k∈Z)，
单调减区间是(k∈Z)．
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