1.5 第1课时 正弦型函数的图象
一、选择题
1．函数y＝－sin的图象与x轴各个交点中离原点最近的一点是( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 由4x＋＝kπ得，x＝－，k＝0时，得点，k＝1时得点，故选A.
2．要得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝cos的图象( )
A．向右平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向左平移个单位
[答案] A
[解析] y＝sinx＝cos＝cos
＝cos，
∴须将y＝cos的图象向右平移个单位．
[点评] 一般地，正弦与余弦异名函数图象平移时，由cosx为偶函数知，将正弦函数利用sinx＝cos化余弦后，结合cosx为偶函数可调整x系数的符号，再考虑平移单位数较简便．本题也可以先作变形y＝cos＝sin再平移，但此解法不具有一般性．
3．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝
B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝
D．T＝6π，φ＝
[答案] A
[解析] T＝＝6，∵f(x)过点(0,1)，则1＝2sinφ，
又|φ|<，∴φ＝，故选A.
4．函数y＝sin的图象( )
A．关于点对称
B．关于直线x＝对称
C．关于点对称
D．关于直线x＝对称
[答案] A
[解析] y＝sin的图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)，对称中心为，当k＝1时，选项A正确．
5．要得到y＝sin的图象，只需将y＝sin的图象( )
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
[答案] B
[解析] y＝sin＝sin
[点评] 牢记左右(上下)平移都只是对点的坐标x、y的变换．
6．(08·天津理)设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝sin＝－cos2x，
∴f(x)为偶函数，周期T＝π.
7．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在同一个周期内，当x＝时，取得最大值2；当x＝时，取得最小值－2，那么函数的解析式为( )
A．y＝sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
[答案] B
[解析] 由最大值2和最小值－2知，A＝2，
由题意＝－＝，∴ω＝2，∴y＝2sin(2x＋φ)，
∵过点，∴sin＝1，
∴可取φ＝，故选B.
8．一条正弦曲线的一个最高点为，从相邻的最低点到这个最高点的图象交x轴于，最低点纵坐标为－3，则此曲线的解析式为( )
A．y＝3sin
B．y＝3sin
C．y＝3sin
D．y＝3sin
[答案] A
[解析] 由条件知，A＝3，＝－＝，∴T＝2，∴ω＝π，∴y＝3sin(πx＋φ)，排除C、D.
∵过点，∴3sin＝0，故排除B.
二、填空题
9．正弦函数f(x)＝Asin(ωx＋ φ)＋k(A>0，ω>0)的定义域为R，周期为，初相为，值域为[－1,3]，则f(x)＝________.
[答案] 2sin＋1
[解析] 由值域[－1,3]知，A＝[3－(－1)]＝2，
∴k＝1.周期T＝＝，∴ω＝3，
∴f(x)＝2sin＋1.
10．将最小正周期为的函数g(x)＝sin(ωx＋φ＋)(ω>0，|φ|<2π)的图象向左平移个单位长度，得到偶函数图象，则满足题意的φ的一个可能值为________．
[答案] ，，－，－填一个即可
[解析] ∵T＝＝，∴ω＝4，
∴g(x)＝sin左移个单位得到
y＝sin＝sin
＝－sin为偶函数，
∴φ＋＝kπ＋，∴φ＝kπ＋，(k∈Z)
∵|φ|<2π，∴φ＝，，－，－.
11．已知函数f(x)＝sin(φ为常数)，有以下命题：
①不论φ取何值，函数f(x)的周期都是π；
②存在常数φ，使得函数f(x)是偶函数；
③函数f(x)在区间[π－2φ，3π－2φ]上是增函数；
④若φ<0，函数f(x)的图象可由函数y＝sin的图象向右平移|2φ|个单位长度得到．
其中，所有正确命题的序号是________．
[答案] ②④
[解析] 函数周期为4π，①错；当φ＝时，函数为偶函数，②正确；③错；④正确．
12．由函数y＝2sin3x与函数y＝2(x∈R)的图象围成一个封闭图形，则这个封闭图形的面积为________．
[答案]
[解析] 如图所示，根据对称性，所围成封闭图形的面积等价于一个矩形面积(S3＝S1＋S2)．
所以封闭图形面积
S＝×2＝π.
三、解答题
13．用两种方法将函数y＝sinx的图象变换为函数y＝sin的图象．
14．如图为函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一段．试确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式．
[解析] 解法一：由图可知A＝3，B，C，
则?ω＝2，φ＝.
所以y＝3sin.
解法二：由振幅情况知A＝3，＝π－＝，
所以T＝π＝?ω＝2.
由B，令×2＋φ＝π，得φ＝.
所以y＝3sin.
解法三：由图知A＝3，T＝π，∴A，图象由y＝3sin2x向左平移个单位而得，
所以y＝3sin2＝3sin.
15．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0、ω>0，|φ|<)的图象的一个最高点为(2,2)，由这个最高点到相邻最低点，图象与x轴交于(6,0)点，试求这个函数的解析式．
[解析] 由图象最高点(2,2)知A＝2.又由题意知从最高点到相邻最低点相交x轴于(6,0)，
∴＝6－2＝4，即T＝16.∴ω＝＝.
∴y＝2sin.代入最高点坐标，得
2＝2sin，∴sin＝1.
∴φ＝.∴函数解析式为y＝2sin.
16．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．
[解析] (1)∵x＝是函数y＝f(x)的图象的对称轴，∴sin(2×＋φ)＝±1，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.
∵－π＜φ＜0，∴φ＝－.
(2)y＝sin(2x－)．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z.
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数y＝sin(2x－)的单调增区间为
[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.
17．如图所示，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
[解析] (1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．
(2)观察图象可知，从8～14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，
∴A＝×(50－30)＝10，
b＝×(50＋30)＝40，
∵·＝14－8，∴ω＝，
∴y＝10sin＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝.
∴所求解析式为y＝10sin＋40 (x∈[8,14])．
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