2.3 第1课时 平面向量基本定理
一、选择题
1．(08·广东理)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
[答案] B
[解析] 由E是线段OD的中点，∴＝3，
由平行四边形ABCD，
∴＝，∴|DF|＝|AB|
∴＝＋＝＋＝a＋(－)
＝a＋(b－a)＝a＋b.
故选B.
2．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD是( )
A．梯形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
[答案] A
[解析] ∵＝＋＋＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，
∴∥且||＝2||，
故四边形是梯形．
3．(08·湖南)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与( )
A．反向平行 B．同向平行
C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
[答案] A
[解析] ＋＋＝＋＋＋＋－＝＋＋－－－＝(－)＋＝＋＝－，故选A.
4．在?ABCD中，＝a，＝b，＝4，P为AD的中点，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C．－a－b D．－a－b
[答案] C
[解析] 如图，＝－＝－
＝－(＋)＝b－(a＋b)
＝－a－b.
5．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且|＋|＝|－|，其中O为坐标原点，则实数a的值为( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D.或－
[答案] C
[解析] 以OA、OB为边作平行四边形OACB，则由|＋|＝|－|得，平行四边形OACB为矩形，⊥.由图形易知直线y＝－x＋a在y轴上的截距为±2，所以选C.
6．已知△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s的值是( )
A. B.
C．－3 D．0
[答案] D
[解析] ∵＝－，＝－.
∴＝－－＝－－.
∴＝－，
∴＝－.
又＝r＋s，∴r＝，s＝－，
∴r＋s＝0.
7．(09·全国Ⅰ文)设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
[答案] B
[解析] ∵|a|＝|b|＝|c|≠0，且a＋b＝c
∴如图所示就是符合题设条件的向量，易知OACB是菱形，△OBC和△OAC都是等边三角形．
∴〈a，b〉＝120°.
8．设a、b是不共线的两个非零向量，已知＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b.若A、B、D三点共线，则p的值为( )
A．1 B．2
C．－2 D．－1
[答案] D
[解析] ＝＋＝2a－b，＝2a＋pb，由A、B、D三点共线知，存在实数λ，使2a＋pb＝2λa－λb，
∵a、b不共线，∴，∴p＝－1.
9．(2010·全国卷Ⅱ文，10)△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若C＝a，C＝b，|a|＝1，|b|＝2，则C＝( )
A. a＋ b B. a＋b
C. a＋b D. a＋ b
[答案] B
[解析] 如图所示，由题设条件知∠1＝∠2，
∴＝＝，
∴＝＝(－)＝b－a，
∴＝＋＝a＋＝a＋b.
10．(2010·合肥市)如图，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于F，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 设＝λ，∵E、D分别为AC、AB的中点，∴＝＋＝－a＋b，
＝＋＝(b－a)＋λ(a－b)
＝a＋(1－λ)b，
∵与共线，∴＝，∴λ＝，
∴＝＋＝b＋＝b＋
＝a＋b，故x＝，y＝.
二、填空题
11．已知e1、e2是两个不共线的向量，而a＝k2e1＋(1－k)e2与b＝2e1＋3e2是两个共线向量，则实数k＝________.
[答案] －2或
[解析] 由题设知＝，∴3k2＋5k－2＝0.
解得k＝－2或.
12．如图所示，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为______．
[答案] 6
[解析] 以OC为对角线，OA、OB方向为边作平行四边形ODCE，由已知∠COD＝30°，∠COE＝∠OCD＝90°.
在Rt△OCD中，∵||＝2
∴||＝＝4，在Rt△OCE中，
||＝||·tan30°＝2，
∴＝4，＝2，
又＝＋＝4＋2，
故λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.
13．如图，E是平行四边形ABCD的边AD上一点，且＝，F为BE与AC的交点．设＝a，＝b，若＝k，＝h，则k＝________，h＝________.
[答案]
[解析] ∵＝＋＝a＋b，∴＝h＝ha＋hb，＝＋＝－a＋ha＋hb＝(h－1)a＋hb，
又＝k＝k(＋)＝k(－a＋b)
＝－ka＋b，
显然a与b不共线，
∴，解得.
三、解答题
14．如图，已知△ABC中，M、N、P顺次是AB的四等分点，＝e1，＝e2，试用e1，e2表示、、.
[解析] ＝e1＋e2；
＝e1＋e2；
＝e1＋e2.
15．在?ABCD中，设边AB、BC、CD的中点分别为E、F、G，设DF与AG、EG的交点分别为H、K，设＝a，＝b，试用a、b表示、.
[解析] 如图所示，＝－＝－b＋a，因为K为DF的中点，所以＝(＋)
＝＝－b.
＝－＝－b＋a.
因为A、H、G三点共线，
所以存在实数m，使＝m＝m；
又D、H、F三点共线，所以存在实数n，使＝n＝n
因为＋＝，所以b＋na＝mb＋a
因为a、b不共线，所以，解得m＝，
即＝＝(a＋2b)．
16．如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝OB，DC与OA交于点E，设＝a，＝b，用a，b表示向量，.
[分析] 将待求向量用已知向量、或与已知向量共线的向量、或能用已知向量表示的向量线性表示，逐步化去过渡的中间向量．
如待求，已知、，即知，因为可用线性表示，故可用和来表示.
[解析] 因为A是BC的中点，
所以＝(＋)，即＝2－＝2a－b.
＝－＝－
＝2a－b－b＝2a－b.
17．已知＝a，＝b，且|a|＝|b|＝4，∠AOB＝60°.
(1)求|a＋b|，|a－b|.
(2)求a＋b与a的夹角及a－b与a的夹角．
[解析] 如图，以、为邻边作平行四边形OACB，
∵||＝||＝4，∠AOB＝60°，
∴四边形OACB为菱形．
(1)a＋b＝＋＝，a－b＝－＝，
∴|a＋b|＝||＝2||＝2××4＝4，
|a－b|＝||＝4.
(2)在△OAC中，∠OAC＝120°，
∴∠COA＝∠OCA＝30°，
a＋b与a所成的角，即∠COA＝30°，a－b与a所成的角，即与所成的角，等于∠CBA＝60°.
18．在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M，设＝a，＝b，以a、b为基底表示.
[分析] 显然a、b不共线，故可设＝ma＋nb，由A、M、D三点共线及B、M、C三点共线利用向量共线条件求解．
[解析] 设＝ma＋nb (m，n∈R)，
则＝－＝(m－1)a＋nb，
＝－＝b－a
因为A、M、D三点共线，所以＝，即m＋2n＝1
又＝－＝a＋nb，
＝－＝－a＋b，
因为C、M、B三点共线，所以＝，
即4m＋n＝1，
由，解得，
所以＝a＋b.
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