2.3 第3课时 平面向量共线的坐标表示
一、选择题
1．(2010·烟台市诊断)已知向量a＝(4,2)，b＝(x,3)，且a∥b，则x的值是( )
A．6 B．－6
C．9 D．12
[答案] A
[解析] ∵a∥b，∴＝，∴x＝6.
2．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于( )
A. B.
C．－ D．－
[答案] A
[解析] ∵＝2，∴＝，
∴＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋＝＋λ，
∴λ＝，故选A.
3．已知点A、B的坐标分别为(2，－2)、(4,3)，向量p的坐标为(2k－1,7)，且p∥，则k的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
[答案] D
[解析] 由A(2，－2)，B(4,3)得，＝(2,5)，
而p＝(2k－1,7)，由平行的条件x1y2－x2y1＝0得，
2×7－(2k－1)×5＝0，∴k＝，选D.
4．(2010·湖南长沙)已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．垂心
C．内心 D．重心
[答案] D
[解析] 设＋＝，则可知四边形BACD是平行四边形，而＝λ表明A、P、D三点共线．又D在BC的中线所在直线上，于是点P的轨迹一定通过△ABC的重心．
5．已知a＝(2,1)，b＝(x，－2)且a＋b与2a－b平行，则x等于( )
A．－6 B．6
C．－4 D．4
[答案] C
[解析] ∵(a＋b)∥(2a－b)．
又a＋b＝(2＋x，－1),2a－b＝(4－x,4)，
∴(2＋x)×4－(－1)×(4－x)＝0，
解得x＝－4.
6．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于( )
A．－6 B．6
C．2 D．－2
[答案] B
[解析] a＋2b＝(5,5),3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)，
由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，
∴λ＝6.
7．(09·北京文)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
[答案] D
[解析] c＝(k,0)＋(0,1)＝(k,1)，
d＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，
c∥d?k×(－1)－1×1＝0，∴k＝－1.
∴c＝(－1,1)与d反向，∴选D.
8．(09·广东文)已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b( )
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
[答案] C
[解析] a＋b＝(0,1＋x2)，由1＋x2≠0及向量的性质可知，C正确．
二、填空题
9．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________．
[答案] 或
[解析] 由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．
设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b.
由?.
又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
所以B或.
10．若三点A(－2，－2)，B(0，m)，C(n,0)(mn≠0)共线，则＋的值为________．
[答案] －
[解析] ∵A、B、C共线，∴∥，
∵＝(2，m＋2)，＝(n＋2,2)，
∴4－(m＋2)(n＋2)＝0，
∴mn＋2m＋2n＝0，
∵mn≠0，∴＋＝－.
11．在平面直角坐标系中，O为原点，已知两点A(1，－2)，B(－1,4)，若点C满足＝α＋β，其中0≤α≤1且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为________．
[答案] 3x＋y－1＝0(－1≤x≤1)
[解析] ∵α＋β＝1，∴β＝1－α，
又∵＝α＋β＝α＋(1－α)，
∴－＝α(－)，∴∥，
又与有公共点B，∴A、B、C三点共线，
∵0≤α≤1，∴C点在线段AB上运动，
∴C点的轨迹方程为3x＋y－1＝0(－1≤x≤1)．
12．已知向量＝(k,6)，＝(4,5)，＝(1－k，10)，且A、B、C三点共线，则k＝______.
[答案]
[解析] 解法一：∵A、B、C三点共线，
∴＝，解得k＝.
解法二：＝(4－k，－1)，＝(－3－k,5)，
∵A、B、C三点共线，∴∥，
∴5(4－k)－(－1)·(－3－k)＝0，∴k＝.
三、解答题
13．a≠0，b≠0，a与b不平行．求证：a＋b与a－b不平行．
[证明] ∵a≠0，b≠0，∴a＋b与a－b不可能同时为0，不妨设a－b≠0.
假设a＋b与a－b平行，则存在实数λ，使a＋b＝λ(a－b)，∴(1－λ)a＝(－1－λ)b，
∵a与b不平行，
∴矛盾无解，
∴a＋b与a－b不平行．
[点评] 本题体现了“正难则反”的策略，也可引入坐标，通过坐标运算求解．
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)．假设(a＋b)∥(a－b)，则有(x1＋x2)(y1－y2)－(y1＋y2)(x1－x2)＝0，
即x1y1＋x2y1－x1y2－x2y2－x1y1－x1y2＋x2y1＋x2y2＝0，
整理得2(x2y1－x1y2)＝0，∴x2y1－x1y2＝0.
∵a≠0，b≠0，∴a∥b.这与已知矛盾，故假设不成立．即a＋b与a－b不平行．
14．已知四点A(x,0)、B(2x,1)、C(2，x)、D(6,2x)．
(1)求实数x，使两向量、共线．
(2)当两向量与共线时，A、B、C、D四点是否在同一条直线上？
[解析] (1)＝(x,1)，＝(4，x)．
∵∥，
∴x2－4＝0，即x＝±2.
∴当x＝±2时，∥.
(2)当x＝－2时，＝(6，－3)，＝(－2,1)，
∴∥.此时A、B、C三点共线，
从而，当x＝－2时，A、B、C、D四点在同一条直线上．
但x＝2时，A、B、C、D四点不共线．
15．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，回答下列问题：
(1)求3a＋b－2c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.
[解析] (1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(0,6)．
(2)∵a＝mb＋nc，
∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．
∴解之得
(3)∵(a＋kc)∥(2b－a)，
又a＋kc＝(3＋4k,2＋k),2b－a＝(－5,2)．
∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，∴k＝－.
16．已知O(0,0)、A(2，－1)、B(1,3)、＝＋t，求
(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第四象限？
(2)四点O、A、B、P能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由．
[解析] (1)＝＋t＝(t＋2,3t－1)．
若点P在x轴上，则3t－1＝0，∴t＝；
若点P在y轴上，则t＋2＝0，∴t＝－2；
若点P在第四象限，则，∴－2
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