2.4 第1课时 平面向量的数量积的物理背景及其含义
一、选择题
1．(2010·重庆理，2)已知向量a，b满足a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝( )
A．0 B．2
C．4 D．8
[答案] B
[解析] ∵|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，
∴|2a－b|＝2.
2．已知a、b是非零向量，且(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 由(a－2b)·a＝0及(b－2a)·b＝0得，a2＝b2＝2|a||b|cosθ，∴cosθ＝，θ＝.
[点评] 数量积运算满足多项式乘法法则及以下乘法公式
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，
(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，
a2－b2＝(a＋b)·(a－b)，
|a|2＝a2＝a·a.
3．如右图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是( )
A.·
B.·
C.·
D.·
[答案] A
[分析] 先搞清所涉及的两个向量的夹角，再用数量积的概念进行计算，最后比较大小．
[解析] 设正六边形的边长是1，则·＝1××cos30°＝；·＝1×2×cos60°＝1；·＝1××cos90°＝0；·＝1×1×cos120°＝－.
4．(2010·湖南理，4)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于( )
A．－16 B．－8
C．8 D．16
[答案] D
[解析] 因为∠C＝90°，所以·＝0，所以·＝(＋)·＝||2＋·＝AC2＝16.
5．P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
[答案] D
[解析] 由·＝·得·(－)＝0，即·＝0，∴PB⊥CA.
同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．
6．已知△ABC中，若＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
[答案] C
[解析] 由－·＝·＋·，
得·(－)＝·(－)，
即·＝·，∴·＋·＝0，
∴·(＋)＝0，则·＝0，即⊥，
所以△ABC是直角三角形，故选C.
7．若O为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．A、B、C均不是
[答案] C
[解析] 由(－)·(＋－2)＝0，得
·(＋)＝0，又∵＝－，∴(－)·(＋)＝0，即||2－||2＝0.
∴||＝||.∴△ABC为等腰三角形．
[点评] 若设BC中点为D，则有＋＝2，
故由·(＋)＝0得·＝0，
∴CB⊥AD，∴AC＝BC.
8．(09·陕西文)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝，则·(＋)等于( )
A．－ B．－
C. D.
[答案] A
[解析] 如图，∵＝，∴||＝||＝，∴·(＋)
＝·(＋＋＋)
＝·(2＋2)
＝22＋2·
＝2×＋2×cos180°
＝－，故选A.
9．已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 根据向量数量积的意义，a·b＝|a|·|b|·cosθ＝4cosθ＝2及0≤θ≤π，可得θ＝，选C.
10．若|a|＝2，|b|＝，a与b的夹角为45°，要使kb－a与a垂直，则k＝( )
A．±2 B．±
C. D．2
[答案] D
[解析] 若kb－a与a垂直，则(kb－a)·a＝0，
即ka·b－|a|2＝0，∴k|a|·|b|cos45°－|a|2＝0，解得k＝2.
二、填空题
11．若非零向量α，β满足|α＋β|＝|α－β|，则α，β的夹角为________．
[答案] 90°
[解析] ∵|α＋β|＝|α－β|，
∴(α＋β)2＝(α－β)2，
即α2＋2α·β＋β2＝α2－2α·β＋β2，
∴α·β＝0，∴α，β的夹角为90°.
12．已知平面上三点A、B、C，满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于________．
[答案] －25
[解析] 由条件知∠ABC＝90°，∴原式＝0＋4×5cos(180°－C)＋5×3cos(180°－A)＝－20cosC－15cosA＝－20×－15×＝－16－9＝－25.
[点评] 注意与的夹角不是角B，应是π－B.
13．(08·北京)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值为________．
[答案] 0
[解析] ∵a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉
＝4×4cos120°＝－8，
∴b·(2a＋b)＝2a·b＋b2＝0.
14．(09·天津文)若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足C＝C＋C，则M·M＝______________.
[答案] －2
[解析] ∵C＝C＋C，
∴M＝C－C＝C－C，
M＝C－C＝C－C.
∴M·M＝－C2－C2＋C·C
＝－×12－×12＋×12×＝－2.
三、解答题
15．已知|a|＝，|b|＝3，a与b夹角为45°，求使a＋λb与λa＋b的夹角为钝角时，λ的取值范围．
[解析] 由条件知，cos45°＝，∴a·b＝3，
设a＋λb与λa＋b的夹角为θ，则θ为钝角，
∴cosθ＝<0，
∴(a＋λb)(λa＋b)<0.
λa2＋λb2＋(1＋λ2)a·b<0，
∴2λ＋9λ＋3(1＋λ2)<0，∴3λ2＋11λ＋3<0，
∴<λ<.
若θ＝180°时，a＋λb与λa＋b共线且方向相反，
∴存在k<0，使a＋λb＝k(λa＋b)，
∵a，b不共线，∴，∴k＝λ＝－1，
∴<λ<且λ≠－1.
[点评] 本题易忽视θ＝180°时，也有a·b<0，忘掉考虑夹角不是钝角而致误．
*16.已知a，b是两个非零向量，证明：当b与a＋λb(λ∈R)垂直时，a＋λb的模取到最小值．
[解析] 当b与a＋λb(λ∈R)垂直时，b·(a＋λb)＝0，∴λ＝－.
|a＋λb|2＝λ2b2＋2λa·b＋a2
＝b2
＝b22＋a2－2.
当λ＝－时，|a＋λb|取得最小值．即当b与a＋λb(λ∈R)垂直时，a＋λb的模取到最小值．
[点评] 本题是将向量、函数的知识有机地结合起来，考查了向量与函数知识的综合应用．要注意a＋λb的模是一个关于λ的二次函数．
*17.已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在θ，使|a＋b|＝|a－b|成立，若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．
[解析] 假设满足条件的θ存在，由|a＋b|＝|a－b|，得(a＋b)2＝3(a－b)2.
∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝3(|a|2－2a·b＋|b|2)，
即|a|2－4a·b＋|b|2＝0，
∴|a|2－4|a||b|cosθ＋|b|2＝0，
由Δ≥0，得(4cosθ)2－4≥0，
解得cosθ≤－或cosθ≥，
又cosθ∈[－1,1]，
∴－1≤cosθ≤－或≤cosθ≤1，
∵θ∈[0，π]，∴θ∈∪，
故当θ∈∪时，能使|a＋b|＝|a－b|成立．
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