3.1.3两角和与差的正切公式
一、选择题
1．在△ABC中，若00，
∴cosA<0，∴A为钝角．
[点评] 也可用两角和的正切公式判断：由条件知，tanB>0，tanC>0，∴tan(B＋C)＝>0.
∴B＋C为锐角，从而A为钝角．
2．给出下列三个等式f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(x＋y)＝，下列函数中不满足其中任何一个等式的是( )
A．f(x)＝3x
B．f(x)＝sinx
C．f(x)＝log2x
D．f(x)＝tanx
[答案] B
[解析] 对选项A，满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，
对选项C，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，
对选项D，满足f(x＋y)＝，故选B.
3．化简tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等于( )
A．1
B．2
C．tan10°
D.tan20°
[答案] A
[解析] ∵tan(20°＋10°)＝，
∴tan20°＋tan10°＝tan30°(1－tan20°tan10°)，
∴原式＝tan10°tan20°＋tan30°(1－tan20°·tan10°)
＝tan10°·tan20°＋1－tan20°·tan10°＝1.
4．已知tanα，tanβ是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值为( )
A.
B．－
C.或－
D．－或
[答案] B
[解析] 由韦达定理得
tanα＋tanβ＝－3，tanα·tanβ＝4，
∴tanα<0，tanβ<0，
∴tan(α＋β)＝＝＝
又－<α<，－<β<，且tanα<0，tanβ<0
∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－.
[点评] 由tanα与tanβ的和与积，先判断tanα与tanβ的符号，可进一步限定角α、β的取值范围．请再做下题：
已知tanα、tanβ是方程x2＋x－2＝0的两个根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值是( )
A．－
B．－
C.或－
D．－或
[答案] A
[解析] 由韦达定理得，
tanα与tanβ一正一负，不妨设tanα>0，tanβ<0，则0<α<，－<β<0，∴－<α＋β<，
又tan(α＋β)＝＝－.∴α＋β＝－.
5．设α和β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是( )
A．tanα·tanβ<1
B．sinα＋sinβ<
C．cosα＋cosβ>1
D.tan(α＋β)tan，∴D不正确．
6.的值为( )
A．2＋
B.
C．2－
D.
[答案] C
[解析] sin6°＝sin(15°－9°)＝sin15°cos9°－cos15°sin9°，
cos6°＝cos(15°－9°)＝cos15°cos9°＋sin15°sin9°，
∴原式＝tan15°＝tan(45°－30°)＝＝2－，故选C.
7．已知α、β为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，则tanβ的值为( )
A.
B.
C.
D.
[答案] B
[解析] ∵α是锐角，cosα＝，故sinα＝，tanα＝
∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝.
8．在△ABC中，若tanB＝，则这个三角形是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
[答案] B
[解析] 因为△ABC中，A＋B＋C＝π，
所以tanB＝
＝＝，
即＝，∴cos(B＋C)＝0，
∴cos(π－A)＝0，∴cosA＝0，∵0
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